學習・解釋・訂正

三角函數的圖像與性質

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修第一册(A版).pdf · 5.4 · PDF 203 / 印刷頁 196

先重溫：誘導公式

專題 01

三角函數的圖像與性質

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握三角函數的圖像與性質。

學完之後，你能解釋

運用三角函數的圖像與性質，並明示角量單位及定義域。
連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

周期與值域

正弦餘弦每 2π 重複，值域為 −1 至 1。

正切限制

正切排除餘弦零點，周期為 π。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「三角函數的圖像與性質」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

θ+φ=45° = 0.7854 弧度；sin=0.7071，cos=0.7071。圓的半徑為 1。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

最小正周期為 cπ，求 c。

y=\sin(2x)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。

提示 2

內部角須增加一個完整周期。

完整解答

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。
計算或化簡此關係式。
$2T=2\pi\Rightarrow T=\frac2{2}\pi$
頻率乘輸入，因此周期相除。

所求值為 1。

檢查與易錯點：頻率乘輸入，因此周期相除。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

寫出完整值域。

y=2\cos x+1

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。

提示 2

伸縮餘弦界限後向上移。

完整解答

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。
計算或化簡此關係式。
$-1\le\cos x\le1\Rightarrow -1\le y\le3$
兩個極值均可取得。

[-1,3]。

檢查與易錯點：兩個極值均可取得。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

正弦在整條實軸遞增嗎？給出反例。

y=\sin x

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。

提示 2

比較頂峰兩側的輸入。

完整解答

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。
計算或化簡此關係式。
$\sin(\pi/2)=1>0=\sin\pi$
單調性須在合適區間內說明。

否：π/2<π，但 sin(π/2)>sin π。

檢查與易錯點：單調性須在合適區間內說明。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

最小正周期為 cπ，求 c。

y=\sin(3x)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。

提示 2

內部角須增加一個完整周期。

完整解答

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。
計算或化簡此關係式。
$3T=2\pi\Rightarrow T=\frac2{3}\pi$
頻率乘輸入，因此周期相除。

所求值為 0.66666667。

檢查與易錯點：頻率乘輸入，因此周期相除。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

寫出完整值域。

y=3\cos x+1

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。

提示 2

伸縮餘弦界限後向上移。

完整解答

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。
計算或化簡此關係式。
$-1\le\cos x\le1\Rightarrow -2\le y\le4$
兩個極值均可取得。

[-2,4]。

檢查與易錯點：兩個極值均可取得。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

寫出正切函數不允許的輸入。

y=\tan x

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。

提示 2

單位圓的垂直終邊使正切分母為零。

完整解答

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。
計算或化簡此關係式。
$\cos x=0\iff x=\pi/2+n\pi$
定義域由無限多個分離區間組成。

x=π/2+nπ，其中 n 為整數。

檢查與易錯點：定義域由無限多個分離區間組成。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

數出閉區間內零點個數。

y=\sin x;\quad0\le x\le3\pi

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。

提示 2

若端點為零點，須包括兩端。

完整解答

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。
計算或化簡此關係式。
$x=n\pi,\quad n=0,1,\ldots,3$
小區間個數與端點個數不同。

所求值為 4。

檢查與易錯點：小區間個數與端點個數不同。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

判斷正切在自然定義域的奇偶性。

\tan x

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。

提示 2

用正弦奇性及餘弦偶性。

完整解答

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。
計算或化簡此關係式。
$\tan(-x)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x$
不允許的輸入關於零對稱。

奇函數。

檢查與易錯點：不允許的輸入關於零對稱。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

寫出正弦取得最大值的所有 x。

y=\sin x

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。

提示 2

用單位圓頂點及整周重複。

完整解答

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。
計算或化簡此關係式。
$\sin x=1\iff x=\pi/2+2n\pi$
半周重複會由最大值變成最小值。

x=π/2+2nπ，其中 n 為整數。

檢查與易錯點：半周重複會由最大值變成最小值。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求 cos x 在 [0,π] 的最小值及取得位置。

y=\cos x,\quad0\le x\le\pi

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

沿單位圓上半圓追蹤橫坐標。

提示 2

此區間內橫坐標持續減小。

完整解答

沿單位圓上半圓追蹤橫坐標。
計算或化簡此關係式。
$\cos0=1,\quad\cos\pi=-1$
閉端點 π 包括在內。

在 x=π 取得最小值 −1。

檢查與易錯點：閉端點 π 包括在內。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

最小正周期為 cπ，求 c。

y=\sin(4x)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。

提示 2

內部角須增加一個完整周期。

完整解答

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。
計算或化簡此關係式。
$4T=2\pi\Rightarrow T=\frac2{4}\pi$
頻率乘輸入，因此周期相除。

所求值為 0.5。

檢查與易錯點：頻率乘輸入，因此周期相除。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

寫出完整值域。

y=4\cos x+1

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。

提示 2

伸縮餘弦界限後向上移。

完整解答

從三角圖像辨識振幅、周期及允許區間。
計算或化簡此關係式。
$-1\le\cos x\le1\Rightarrow -3\le y\le5$
兩個極值均可取得。

[-3,5]。

檢查與易錯點：兩個極值均可取得。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

求 sin²x 的最小正周期 cπ，輸入 c，並說明再減半為何失敗。

y=\sin^2x

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

平方消除平移 π 的變號。

提示 2

用零點排列 x=nπ 限制可能周期。

完整解答

平方消除平移 π 的變號。
計算或化簡此關係式。
$\sin^2(x+\pi)=\sin^2x;\quad f(0)=0\ne1=f(\pi/2)$
正周期須把 0 的零點移至另一零點，因此 π 最小。

所求值為 1。

檢查與易錯點：正周期須把 0 的零點移至另一零點，因此 π 最小。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

使用「三角函數的圖像與性質」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
改變一項假設後，原結論還成立嗎？

板書重點

運用三角函數的圖像與性質，並明示角量單位及定義域。
周期與值域：正弦餘弦每 2π 重複，值域為 −1 至 1。
正切限制：正切排除餘弦零點，周期為 π。
總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

預期想法

預期理由：正弦餘弦每 2π 重複，值域為 −1 至 1。
預期理由：正切排除餘弦零點，周期為 π。
預期修正：周期性不代表全域單調。

評核清單

1：辨識已知條件及所求。
1：選取合適定義、表示或方法。
1：推理連貫且正確。
1：檢驗條件並解釋結果。