Kenneth Cheng數學建模
← 高中數學研習室

學習・解釋・訂正

誘導公式

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修 第一册(A版).pdf · 5.3 · PDF 195 / 印刷頁 188

先重溫：三角函數的概念

專題 01

誘導公式

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握誘導公式。

學完之後，你能解釋

  • 運用誘導公式，並明示角量單位及定義域。
  • 連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
  • 能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

對稱

反射決定哪個坐標變號。

周期性

整周保持正弦餘弦；半周保持有定義的正切。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「誘導公式」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

θ+φ=45° = 0.7854 弧度；sin=0.7071，cos=0.7071。圓的半徑為 1。

θ+φ=45° = 0.7854 弧度；sin=0.7071，cos=0.7071。圓的半徑為 1。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求變換後的正弦值。

sin⁡α=3/5;sin⁡(2π+α)\sin\alpha=3/5;\quad\sin(2\pi+\alpha)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
利用單位圓對稱及周期性，化簡前先判斷符號。
提示 2
一整周回到單位圓同一點。
完整解答

  1. 利用單位圓對稱及周期性，化簡前先判斷符號。

  2. 計算或化簡此關係式。

    sin⁡(2π+α)=sin⁡α=3/5\sin(2\pi+\alpha)=\sin\alpha=3/5

  3. 正弦以 2π 為周期。

所求值為 0.6。

檢查與易錯點：正弦以 2π 為周期。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求反射後的餘弦值。

cos⁡α=4/5;cos⁡(π−α)\cos\alpha=4/5;\quad\cos(\pi-\alpha)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
利用單位圓對稱及周期性，化簡前先判斷符號。
提示 2
沿縱軸反射會改變 x 符號，不改變 y。
完整解答

  1. 利用單位圓對稱及周期性，化簡前先判斷符號。

  2. 計算或化簡此關係式。

    cos⁡(π−α)=−cos⁡α=−4/5\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha=-4/5

  3. 餘弦反映橫坐標。

所求值為 -0.8。

檢查與易錯點：餘弦反映橫坐標。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

否定 cos(π−α)=cos α 對所有 α 成立的聲稱。

cos⁡(π−α)=cos⁡α\cos(\pi-\alpha)=\cos\alpha
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
利用單位圓對稱及周期性，化簡前先判斷符號。
提示 2
選餘弦非零的角。
完整解答

  1. 利用單位圓對稱及周期性，化簡前先判斷符號。

  2. 計算或化簡此關係式。

    cos⁡π=−1,cos⁡0=1\cos\pi=-1,\quad\cos0=1

  3. 正確恆等式須有負號。

取 α=0，得到 −1≠1。

檢查與易錯點：正確恆等式須有負號。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

不用計算機求 cos 420°。

cos⁡420∘\cos420^{\circ}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
減去一整周。
提示 2
420° 與 60° 同終邊。
完整解答

  1. 減去一整周。

  2. 計算或化簡此關係式。

    cos⁡420∘=cos⁡60∘=1/2\cos420^{\circ}=\cos60^{\circ}=1/2

  3. 一整周不改變餘弦。

所求值為 0.5。

檢查與易錯點：一整周不改變餘弦。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

精確求 sin 225°。

sin⁡225∘\sin225^{\circ}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
辨識參考角及象限。
提示 2
角在第三象限。
完整解答

  1. 辨識參考角及象限。

  2. 計算或化簡此關係式。

    sin⁡(180∘+45∘)=−sin⁡45∘=−2/2\sin(180^{\circ}+45^{\circ})=-\sin45^{\circ}=-\sqrt2/2

  3. 下半平面的正弦為負。

−√2/2。

檢查與易錯點：下半平面的正弦為負。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求轉半周後的正切值。

tan⁡α=3;tan⁡(π+α)\tan\alpha=3;\quad\tan(\pi+\alpha)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
利用單位圓對稱及周期性，化簡前先判斷符號。
提示 2
正弦與餘弦同時變號。
完整解答

  1. 利用單位圓對稱及周期性，化簡前先判斷符號。

  2. 計算或化簡此關係式。

    tan⁡(π+α)=tan⁡α=3\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha=3

  3. 有定義時，兩者之商保持不變。

所求值為 3。

檢查與易錯點：有定義時，兩者之商保持不變。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求相反角的正弦。

sin⁡α=5/13;sin⁡(−α)\sin\alpha=5/13;\quad\sin(-\alpha)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
利用單位圓對稱及周期性，化簡前先判斷符號。
提示 2
正弦為奇函數。
完整解答

  1. 利用單位圓對稱及周期性，化簡前先判斷符號。

  2. 計算或化簡此關係式。

    sin⁡(−α)=−sin⁡α=−5/13\sin(-\alpha)=-\sin\alpha=-5/13

  3. 角取相反數相當於沿橫軸反射。

所求值為 -0.38461538。

檢查與易錯點：角取相反數相當於沿橫軸反射。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

化簡餘角式。

sin⁡(π/2−α)\sin(\pi/2-\alpha)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
利用單位圓對稱及周期性，化簡前先判斷符號。
提示 2
餘角交換正弦與餘弦。
完整解答

  1. 利用單位圓對稱及周期性，化簡前先判斷符號。

  2. 計算或化簡此關係式。

    sin⁡(π/2−α)=cos⁡α\sin(\pi/2-\alpha)=\cos\alpha

  3. 此恆等式對所有實數 α 成立。

cos α。

檢查與易錯點：此恆等式對所有實數 α 成立。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

不用計算機計算。

sin⁡(π)+sin⁡(0)\sin(\pi)+\sin(0)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
利用單位圓對稱及周期性，化簡前先判斷符號。
提示 2
兩個終邊均在橫軸。
完整解答

  1. 利用單位圓對稱及周期性，化簡前先判斷符號。

  2. 計算或化簡此關係式。

    sin⁡(π)+sin⁡(0)=0\sin(\pi)+\sin(0)=0

  3. π 的整數倍位置正弦坐標為零。

所求值為 0。

檢查與易錯點：π 的整數倍位置正弦坐標為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

推導餘切誘導公式，並列出定義域限制。

cot⁡(π−α)\cot(\pi-\alpha)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把餘切寫成餘弦除以正弦。
提示 2
分別使用兩個反射恆等式。
完整解答

  1. 把餘切寫成餘弦除以正弦。

  2. 計算或化簡此關係式。

    cot⁡(π−α)=−cos⁡αsin⁡α=−cot⁡α\cot(\pi-\alpha)=\frac{-\cos\alpha}{\sin\alpha}=-\cot\alpha

  3. 兩邊均要求正弦分母非零。

−cot α，其中 sin α≠0。

檢查與易錯點：兩邊均要求正弦分母非零。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

計算 tan(−π/4)。

tan⁡(−π/4)\tan(-\pi/4)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用正切奇性。
提示 2
此角的餘弦分母非零。
完整解答

  1. 使用正切奇性。

  2. 計算或化簡此關係式。

    tan⁡(−π/4)=−tan⁡(π/4)=−1\tan(-\pi/4)=-\tan(\pi/4)=-1

  3. 結果符合第四象限的正切符號。

所求值為 -1。

檢查與易錯點：結果符合第四象限的正切符號。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

化簡正弦的四分之三周平移。

sin⁡(3π/2+α)\sin(3\pi/2+\alpha)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
用和角公式或單位圓旋轉。
提示 2
sin(3π/2)=−1，cos(3π/2)=0。
完整解答

  1. 用和角公式或單位圓旋轉。

  2. 計算或化簡此關係式。

    sin⁡(3π/2+α)=(−1)cos⁡α+0sin⁡α\sin(3\pi/2+\alpha)=(-1)\cos\alpha+0\sin\alpha

  3. 四分之一周類平移交換坐標角色，正負由方向決定。

−cos α。

檢查與易錯點：四分之一周類平移交換坐標角色，正負由方向決定。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

求轉半周後的正切值。

tan⁡α=4;tan⁡(π+α)\tan\alpha=4;\quad\tan(\pi+\alpha)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
利用單位圓對稱及周期性，化簡前先判斷符號。
提示 2
正弦與餘弦同時變號。
完整解答

  1. 利用單位圓對稱及周期性，化簡前先判斷符號。

  2. 計算或化簡此關係式。

    tan⁡(π+α)=tan⁡α=4\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha=4

  3. 有定義時，兩者之商保持不變。

所求值為 4。

檢查與易錯點：有定義時，兩者之商保持不變。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 使用「誘導公式」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
    • 哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
    • 改變一項假設後，原結論還成立嗎？

    板書重點

    • 運用誘導公式，並明示角量單位及定義域。
    • 對稱：反射決定哪個坐標變號。
    • 周期性：整周保持正弦餘弦；半周保持有定義的正切。
    • 總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

    預期想法

    • 預期理由：反射決定哪個坐標變號。
    • 預期理由：整周保持正弦餘弦；半周保持有定義的正切。
    • 預期修正：反射後餘弦可能須變號。

    評核清單

    • 1：辨識已知條件及所求。
    • 1：選取合適定義、表示或方法。
    • 1：推理連貫且正確。
    • 1：檢驗條件並解釋結果。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

    教材與來源說明 ↗