Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

三角函數的概念

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修 第一册(A版).pdf · 5.2 · PDF 184 / 印刷頁 177

先重溫：任意角和弧度制

專題 01

三角函數的概念

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握三角函數的概念。

學完之後，你能解釋

  • 運用三角函數的概念，並明示角量單位及定義域。
  • 連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
  • 能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

坐標定義

使用正半徑及帶符號坐標。

sin⁡θ=y/r,cos⁡θ=x/r\sin\theta=y/r,\quad\cos\theta=x/r

基本恆等式

單位圓方程給出正弦平方加餘弦平方等於一。

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「三角函數的概念」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

θ+φ=45° = 0.7854 弧度；sin=0.7071，cos=0.7071。圓的半徑為 1。

θ+φ=45° = 0.7854 弧度；sin=0.7071，cos=0.7071。圓的半徑為 1。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

由終邊上一點求 sin θ。

P=(6,8)P=(6,8)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用終邊坐標及正的半徑。
提示 2
正弦為縱坐標除以半徑。
完整解答

  1. 使用終邊坐標及正的半徑。

  2. 計算或化簡此關係式。

    r=(6)2+(8)2=10;sin⁡θ=4/5r=\sqrt{(6)^2+(8)^2}=10;\quad\sin\theta=4/5

  3. 沿終邊伸縮點的位置不改變比值。

所求值為 0.8。

檢查與易錯點：沿終邊伸縮點的位置不改變比值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

θ 在第二象限，求 cos θ。

sin⁡θ=3/5\sin\theta=3/5
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用終邊坐標及正的半徑。
提示 2
先用恆等式，再選正負號。
完整解答

  1. 使用終邊坐標及正的半徑。

  2. 計算或化簡此關係式。

    cos⁡2θ=1−9/25=16/25;cos⁡θ=−4/5\cos^2\theta=1-9/25=16/25;\quad\cos\theta=-4/5

  3. 第二象限決定餘弦為負。

所求值為 -0.8。

檢查與易錯點：第二象限決定餘弦為負。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

求此終邊點距原點的半徑。

P=(−10,24)P=(-10,24)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用終邊坐標及正的半徑。
提示 2
用距離公式，不用帶符號坐標之和。
完整解答

  1. 使用終邊坐標及正的半徑。

  2. 計算或化簡此關係式。

    r=100+576=26r=\sqrt{100+576}=26

  3. 不論象限，半徑均為正。

所求值為 26。

檢查與易錯點：不論象限，半徑均為正。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

由終邊上一點求 sin θ。

P=(9,12)P=(9,12)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用終邊坐標及正的半徑。
提示 2
正弦為縱坐標除以半徑。
完整解答

  1. 使用終邊坐標及正的半徑。

  2. 計算或化簡此關係式。

    r=(9)2+(12)2=15;sin⁡θ=4/5r=\sqrt{(9)^2+(12)^2}=15;\quad\sin\theta=4/5

  3. 沿終邊伸縮點的位置不改變比值。

所求值為 0.8。

檢查與易錯點：沿終邊伸縮點的位置不改變比值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

θ 在第三象限，求 cos θ。

sin⁡θ=−12/13\sin\theta=-12/13
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用平方和恆等式及象限。
提示 2
第三象限餘弦為負。
完整解答

  1. 使用平方和恆等式及象限。

  2. 計算或化簡此關係式。

    cos⁡2θ=1−144/169=25/169;cos⁡θ=−5/13\cos^2\theta=1-144/169=25/169;\quad\cos\theta=-5/13

  3. 平方根正負取決於象限，不是只看正弦正負。

所求值為 -0.38461538。

檢查與易錯點：平方根正負取決於象限，不是只看正弦正負。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

由終邊上一點求 tan θ。

P=(12,−9)P=(12,-9)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用終邊坐標及正的半徑。
提示 2
正切使用 y 除以 x。
完整解答

  1. 使用終邊坐標及正的半徑。

  2. 計算或化簡此關係式。

    tan⁡θ=y/x=−3/4\tan\theta=y/x=-3/4

  3. 分母必須非零。

所求值為 -0.75。

檢查與易錯點：分母必須非零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

解釋 90° 的正切為何沒有定義。

tan⁡θ=sin⁡θ/cos⁡θ\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用終邊坐標及正的半徑。
提示 2
找單位圓最高點。
完整解答

  1. 使用終邊坐標及正的半徑。

  2. 計算或化簡此關係式。

    sin⁡90∘=1,cos⁡90∘=0\sin90^{\circ}=1,\quad\cos90^{\circ}=0

  3. 沒有定義與一個極大的實數不同。

cos 90° 為零，因此比值須除以零。

檢查與易錯點：沒有定義與一個極大的實數不同。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

判斷兩個聲稱的三角值能否同時成立。

sin⁡θ=4/5,cos⁡θ=4/5\sin\theta=4/5,\quad\cos\theta=4/5
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用終邊坐標及正的半徑。
提示 2
使用單位圓方程。
完整解答

  1. 使用終邊坐標及正的半徑。

  2. 計算或化簡此關係式。

    (4/5)2+(4/5)2=32/25≠1(4/5)^2+(4/5)^2=32/25\ne1

  3. 每個值分別在 −1 至 1 內仍不足以保證可行。

不能，因為平方和不為一。

檢查與易錯點：每個值分別在 −1 至 1 內仍不足以保證可行。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

由兩個符號判斷角所在象限。

sin⁡θ<0,cos⁡θ>0\sin\theta<0,\quad\cos\theta>0
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用終邊坐標及正的半徑。
提示 2
把正弦、餘弦視為有正負的坐標。
完整解答

  1. 使用終邊坐標及正的半徑。

  2. 計算或化簡此關係式。

    y<0,x>0y<0,\quad x>0

  3. 坐標軸上的角不可能同時符合兩個嚴格不等式。

第四象限。

檢查與易錯點：坐標軸上的角不可能同時符合兩個嚴格不等式。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求此終邊點距原點的半徑。

P=(−15,36)P=(-15,36)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用終邊坐標及正的半徑。
提示 2
用距離公式，不用帶符號坐標之和。
完整解答

  1. 使用終邊坐標及正的半徑。

  2. 計算或化簡此關係式。

    r=225+1296=39r=\sqrt{225+1296}=39

  3. 不論象限，半徑均為正。

所求值為 39。

檢查與易錯點：不論象限，半徑均為正。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

由終邊上一點求 sin θ。

P=(12,16)P=(12,16)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用終邊坐標及正的半徑。
提示 2
正弦為縱坐標除以半徑。
完整解答

  1. 使用終邊坐標及正的半徑。

  2. 計算或化簡此關係式。

    r=(12)2+(16)2=20;sin⁡θ=4/5r=\sqrt{(12)^2+(16)^2}=20;\quad\sin\theta=4/5

  3. 沿終邊伸縮點的位置不改變比值。

所求值為 0.8。

檢查與易錯點：沿終邊伸縮點的位置不改變比值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

第四象限角可以有正弦 4/5 嗎？說明。

θ in quadrant IV,sin⁡θ=4/5\theta\text{ in quadrant IV},\quad\sin\theta=4/5
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用單位圓有正負的坐標。
提示 2
第四象限縱坐標為負。
完整解答

  1. 使用單位圓有正負的坐標。

  2. 計算或化簡此關係式。

    y<0, r>0⇒sin⁡θ=y/r<0y<0,\ r>0\Rightarrow\sin\theta=y/r<0

  3. 未須進一步計算，已知條件已互相矛盾。

不能。

檢查與易錯點：未須進一步計算，已知條件已互相矛盾。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

由終邊上一點求 tan θ。

P=(16,−12)P=(16,-12)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用終邊坐標及正的半徑。
提示 2
正切使用 y 除以 x。
完整解答

  1. 使用終邊坐標及正的半徑。

  2. 計算或化簡此關係式。

    tan⁡θ=y/x=−3/4\tan\theta=y/x=-3/4

  3. 分母必須非零。

所求值為 -0.75。

檢查與易錯點：分母必須非零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 使用「三角函數的概念」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
    • 哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
    • 改變一項假設後，原結論還成立嗎？

    板書重點

    • 運用三角函數的概念，並明示角量單位及定義域。
    • 坐標定義：使用正半徑及帶符號坐標。
      sin⁡θ=y/r,cos⁡θ=x/r\sin\theta=y/r,\quad\cos\theta=x/r
    • 基本恆等式：單位圓方程給出正弦平方加餘弦平方等於一。
      sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1
    • 總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

    預期想法

    • 預期理由：使用正半徑及帶符號坐標。
    • 預期理由：單位圓方程給出正弦平方加餘弦平方等於一。
    • 預期修正：取平方根後須由象限決定符號。

    評核清單

    • 1：辨識已知條件及所求。
    • 1：選取合適定義、表示或方法。
    • 1：推理連貫且正確。
    • 1：檢驗條件並解釋結果。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

    教材與來源說明 ↗