Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

任意角和弧度制

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修 第一册(A版).pdf · 5.1 · PDF 175 / 印刷頁 168

先重溫：函數的基本性質

專題 01

任意角和弧度制

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握任意角和弧度制。

學完之後，你能解釋

  • 運用任意角和弧度制，並明示角量單位及定義域。
  • 連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
  • 能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

有向角

逆時針為正；整周轉動保持終邊。

弧度定義

弧度數為弧長除以半徑。

θ=s/r\theta=s/r

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「任意角和弧度制」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

θ+φ=45° = 0.7854 弧度；sin=0.7071，cos=0.7071。圓的半徑為 1。

θ+φ=45° = 0.7854 弧度；sin=0.7071，cos=0.7071。圓的半徑為 1。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

把角寫成 cπ 弧度，求 c。

60∘60^{\circ}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分角度與弧度，並使用角量的定義。
提示 2
平角為 π 弧度。
完整解答

  1. 區分角度與弧度，並使用角量的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    60∘⋅π180∘=26π60^{\circ}\cdot\frac{\pi}{180^{\circ}}=\frac{2}6\pi

  3. 單位改變會改變數值係數，但不改變幾何角。

所求值為 0.33333333。

檢查與易錯點：單位改變會改變數值係數，但不改變幾何角。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

轉成角度。

2π4\frac{2\pi}{4}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分角度與弧度，並使用角量的定義。
提示 2
弧度數乘 180/π。
完整解答

  1. 區分角度與弧度，並使用角量的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    2π4⋅180∘π=90∘\frac{2\pi}4\cdot\frac{180^{\circ}}{\pi}=90^{\circ}

  3. 結果須交代角度單位。

所求值為 90。

檢查與易錯點：結果須交代角度單位。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

30° 在此閉區間有多少個同終邊代表？

[−720∘,720∘][-720^{\circ},720^{\circ}]
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分角度與弧度，並使用角量的定義。
提示 2
把每個同終邊角寫成 30°+360°n。
完整解答

  1. 區分角度與弧度，並使用角量的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    −720≤30+360n≤720⇒−2≤n≤1-720\le30+360n\le720\Rightarrow -2\le n\le1

  3. 整數 n 須同時符合兩端限制。

所求值為 4。

檢查與易錯點：整數 n 須同時符合兩端限制。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

把角寫成 cπ 弧度，求 c。

90∘90^{\circ}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分角度與弧度，並使用角量的定義。
提示 2
平角為 π 弧度。
完整解答

  1. 區分角度與弧度，並使用角量的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    90∘⋅π180∘=36π90^{\circ}\cdot\frac{\pi}{180^{\circ}}=\frac{3}6\pi

  3. 單位改變會改變數值係數，但不改變幾何角。

所求值為 0.5。

檢查與易錯點：單位改變會改變數值係數，但不改變幾何角。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

轉成角度。

3π4\frac{3\pi}{4}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分角度與弧度，並使用角量的定義。
提示 2
弧度數乘 180/π。
完整解答

  1. 區分角度與弧度，並使用角量的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    3π4⋅180∘π=135∘\frac{3\pi}4\cdot\frac{180^{\circ}}{\pi}=135^{\circ}

  3. 結果須交代角度單位。

所求值為 135。

檢查與易錯點：結果須交代角度單位。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

圓半徑為 r、圓心角 θ 弧度，求以下數值的弧長。

r=3,θ=2r=3,\quad\theta=2
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分角度與弧度，並使用角量的定義。
提示 2
s=rθ 要求弧度。
完整解答

  1. 區分角度與弧度，並使用角量的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    s=rθ=3⋅2=6s=r\theta=3\cdot2=6

  3. 弧長與半徑使用相同長度單位。

所求值為 6。

檢查與易錯點：弧長與半徑使用相同長度單位。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求指定弧度角的扇形面積。

r=3,θ=1r=3,\quad\theta=1
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分角度與弧度，並使用角量的定義。
提示 2
扇形佔圓面積 θ/(2π)。
完整解答

  1. 區分角度與弧度，並使用角量的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    S=12r2θ=92S=\frac12r^2\theta=\frac{9}2

  3. 面積單位為半徑單位的平方。

所求值為 4.5。

檢查與易錯點：面積單位為半徑單位的平方。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求 [0°,360°) 內的同終邊角。

1125∘1125^{\circ}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分角度與弧度，並使用角量的定義。
提示 2
減去整周。
完整解答

  1. 區分角度與弧度，並使用角量的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    1125∘−3⋅360∘=45∘1125^{\circ}-3\cdot360^{\circ}=45^{\circ}

  3. 同終邊角可有不同數值，但終邊相同。

所求值為 45。

檢查與易錯點：同終邊角可有不同數值，但終邊相同。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

終邊位於哪個象限？說明。

−150∘-150^{\circ}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分角度與弧度，並使用角量的定義。
提示 2
換成一周內的同終邊角。
完整解答

  1. 區分角度與弧度，並使用角量的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    −150∘+360∘=210∘-150^{\circ}+360^{\circ}=210^{\circ}

  3. 負角表示順時針轉動，不是負的象限。

第三象限。

檢查與易錯點：負角表示順時針轉動，不是負的象限。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

30° 在此閉區間有多少個同終邊代表？

[−1080∘,1080∘][-1080^{\circ},1080^{\circ}]
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分角度與弧度，並使用角量的定義。
提示 2
把每個同終邊角寫成 30°+360°n。
完整解答

  1. 區分角度與弧度，並使用角量的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    −1080≤30+360n≤1080⇒−3≤n≤2-1080\le30+360n\le1080\Rightarrow -3\le n\le2

  3. 整數 n 須同時符合兩端限制。

所求值為 6。

檢查與易錯點：整數 n 須同時符合兩端限制。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

把角寫成 cπ 弧度，求 c。

120∘120^{\circ}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分角度與弧度，並使用角量的定義。
提示 2
平角為 π 弧度。
完整解答

  1. 區分角度與弧度，並使用角量的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    120∘⋅π180∘=46π120^{\circ}\cdot\frac{\pi}{180^{\circ}}=\frac{4}6\pi

  3. 單位改變會改變數值係數，但不改變幾何角。

所求值為 0.66666667。

檢查與易錯點：單位改變會改變數值係數，但不改變幾何角。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

轉成角度。

4π4\frac{4\pi}{4}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分角度與弧度，並使用角量的定義。
提示 2
弧度數乘 180/π。
完整解答

  1. 區分角度與弧度，並使用角量的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    4π4⋅180∘π=180∘\frac{4\pi}4\cdot\frac{180^{\circ}}{\pi}=180^{\circ}

  3. 結果須交代角度單位。

所求值為 180。

檢查與易錯點：結果須交代角度單位。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

圓半徑為 r、圓心角 θ 弧度，求以下數值的弧長。

r=4,θ=2r=4,\quad\theta=2
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分角度與弧度，並使用角量的定義。
提示 2
s=rθ 要求弧度。
完整解答

  1. 區分角度與弧度，並使用角量的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    s=rθ=4⋅2=8s=r\theta=4\cdot2=8

  3. 弧長與半徑使用相同長度單位。

所求值為 8。

檢查與易錯點：弧長與半徑使用相同長度單位。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 使用「任意角和弧度制」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
    • 哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
    • 改變一項假設後，原結論還成立嗎？

    板書重點

    • 運用任意角和弧度制，並明示角量單位及定義域。
    • 有向角：逆時針為正；整周轉動保持終邊。
    • 弧度定義：弧度數為弧長除以半徑。
      θ=s/r\theta=s/r
    • 總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

    預期想法

    • 預期理由：逆時針為正；整周轉動保持終邊。
    • 預期理由：弧度數為弧長除以半徑。
    • 預期修正：弧長與扇形公式要求弧度。

    評核清單

    • 1：辨識已知條件及所求。
    • 1：選取合適定義、表示或方法。
    • 1：推理連貫且正確。
    • 1：檢驗條件並解釋結果。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

    教材與來源說明 ↗