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學習・解釋・訂正

求同時垂直於 a、b 的非零向量，且第三分量為1。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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高二選擇性必修第一册(A版).pdf · 1.3 · PDF 21 / 印刷頁 16

先重溫：空間向量及其運算空間向量基本定理

專題 01

空間向量及其座標表示

利用座標計算空間長度、角度、投影及垂直方向。

學完之後，你能解釋

利用座標計算空間長度、角度、投影及垂直方向。
在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 遷移#示範例題

求同時垂直於 a、b 的非零向量，且第三分量為1。

a=(1,0,4),\ b=(0,1,2)

投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

用內積連結座標與長度或角度。

提示 2

使用此中間關係式。

u\cdot a=u\cdot b=0

完整解答

用內積連結座標與長度或角度。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$x+4z=0,\quad y+2z=0$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$z=1\Rightarrow x=-4,\ y=-2$
兩個線性條件決定垂直方向，仍可作非零數乘。

所求關係或結論如下。

u=(-4,-2,1)

檢查與易錯點：兩個線性條件決定垂直方向，仍可作非零數乘。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

提問順序

利用座標計算空間長度、角度、投影及垂直方向。
「空間向量及其座標表示」中哪一個條件不可缺少？
預測反轉方向向量後，投影會怎樣改變。

板書重點

座標：以終點座標減起點座標，得到位移向量。
$\overrightarrow{AB}=B-A$
投影條件：投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。
$\operatorname{proj}_{u}v=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}u$

預期想法

投影向量與其有向純量分量是不同概念。

評核清單

1分：選取正確表示法及條件。
1分：建立中間關係式。
1分：完成連貫的計算或證明。
1分：解釋並檢查結論。