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學習・解釋・訂正

求 a 與 b 夾角的 cos θ。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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高二選擇性必修第一册(A版).pdf · 1.3 · PDF 21 / 印刷頁 16

先重溫：空間向量及其運算空間向量基本定理

專題 01

空間向量及其座標表示

利用座標計算空間長度、角度、投影及垂直方向。

學完之後，你能解釋

利用座標計算空間長度、角度、投影及垂直方向。
在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#獨立練習

求 a 與 b 夾角的 cos θ。

a=(1,1,0), b=(0,8,1)

投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

用內積連結座標與長度或角度。

提示 2

使用此中間關係式。

cosθ=(a·b)/(|a||b|)

完整解答

用內積連結座標與長度或角度。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$a\cdot b=8, |a|=\sqrt2, |b|=\sqrt{65}$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$\cos\theta=8/\sqrt{130}$
分母須包含兩個向量長度。

所求值為 0.701646415446。

檢查與易錯點：分母須包含兩個向量長度。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

提問順序

利用座標計算空間長度、角度、投影及垂直方向。
「空間向量及其座標表示」中哪一個條件不可缺少？
預測反轉方向向量後，投影會怎樣改變。

板書重點

座標：以終點座標減起點座標，得到位移向量。
$\overrightarrow{AB}=B-A$
投影條件：投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。
$\operatorname{proj}_{u}v=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}u$

預期想法

投影向量與其有向純量分量是不同概念。

評核清單

1分：選取正確表示法及條件。
1分：建立中間關係式。
1分：完成連貫的計算或證明。
1分：解釋並檢查結論。