學習・解釋・訂正

等比數列

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修第二册(A版).pdf · 4.3 · PDF 32 / 印刷頁 27

先重溫：數列的概念

專題 01

等比數列

連結公比、下標次方及有限等比和。

學完之後，你能解釋

連結公比、下標次方及有限等比和。
在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

定義關係

連結公比、下標次方及有限等比和。

a_n=a_1q^{n-1};\quad S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)

適用條件

等比數列公比以非零項定義；q=1 時使用 Sn=na1。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：公比為負是否代表數列遞減？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

前六個等比項：2、2、2、2、2、2；和=12。縱向顯示尺度自動調整，讓六項均可見。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：比較正負公比下的項值符號及部分和。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求 a4。

a_1=2,\quad q=2

等比數列公比以非零項定義；q=1 時使用 Sn=na1。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公比，並檢查特殊情況。

提示 2

使用此中間關係式。

a_4=a_1q^3

完整解答

使用公比，並檢查特殊情況。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$a_4=2\cdot8=16$
指數使用 n−1。

所求值為 16。

檢查與易錯點：指數使用 n−1。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

已知 a5=t，求 a3a7。

t=3

等比數列公比以非零項定義；q=1 時使用 Sn=na1。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公比，並檢查特殊情況。

提示 2

使用此中間關係式。

a_3a_7=a_5^2

完整解答

使用公比，並檢查特殊情況。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$a_3a_7=a_1^2q^8=a_5^2=9$
非零等比數列中，下標和相同的兩項乘積相同。

所求值為 9。

檢查與易錯點：非零等比數列中，下標和相同的兩項乘積相同。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

等比數列有 S2=t、S4=5t。求 q²。

t=4

等比數列公比以非零項定義；q=1 時使用 Sn=na1。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公比，並檢查特殊情況。

提示 2

使用此中間關係式。

S_4=S_2(1+q^2)

完整解答

使用公比，並檢查特殊情況。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$5=1+q^2$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$q^2=4$
因 S2 非零可相除；方程只確定 q²，未確定 q 的正負。

所求值為 4。

檢查與易錯點：因 S2 非零可相除；方程只確定 q²，未確定 q 的正負。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求 a4。

a_1=5,\quad q=2

等比數列公比以非零項定義；q=1 時使用 Sn=na1。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公比，並檢查特殊情況。

提示 2

使用此中間關係式。

a_4=a_1q^3

完整解答

使用公比，並檢查特殊情況。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$a_4=5\cdot8=40$
指數使用 n−1。

所求值為 40。

檢查與易錯點：指數使用 n−1。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求公比 q。

a_2=6,\quad a_3=-12

等比數列公比以非零項定義；q=1 時使用 Sn=na1。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公比，並檢查特殊情況。

提示 2

使用此中間關係式。

q=a_3/a_2

完整解答

使用公比，並檢查特殊情況。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$q=-2$
公比的正負控制各項是否交替正負。

所求值為 -2。

檢查與易錯點：公比的正負控制各項是否交替正負。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求 S3。

a_1=7,\quad q=3

等比數列公比以非零項定義；q=1 時使用 Sn=na1。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公比，並檢查特殊情況。

提示 2

使用此中間關係式。

S_3=a_1(1+q+q^2)

完整解答

使用公比，並檢查特殊情況。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$S_3=7(1+3+9)=91$
直接逐項相加可獨立檢查有限和公式。

所求值為 91。

檢查與易錯點：直接逐項相加可獨立檢查有限和公式。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

公比 q=1 時，求 S5。

a_1=8

等比數列公比以非零項定義；q=1 時使用 Sn=na1。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公比，並檢查特殊情況。

提示 2

使用此中間關係式。

S_5=5a_1

完整解答

使用公比，並檢查特殊情況。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$S_5=5(8)=40$
各項相等；商式求和公式的分母會為零。

所求值為 40。

檢查與易錯點：各項相等；商式求和公式的分母會為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

公比 q=1 時，求 S5。

a_1=9

等比數列公比以非零項定義；q=1 時使用 Sn=na1。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公比，並檢查特殊情況。

提示 2

使用此中間關係式。

S_5=5a_1

完整解答

使用公比，並檢查特殊情況。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$S_5=5(9)=45$
各項相等；商式求和公式的分母會為零。

所求值為 45。

檢查與易錯點：各項相等；商式求和公式的分母會為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

已知 a5=t，求 a3a7。

t=10

等比數列公比以非零項定義；q=1 時使用 Sn=na1。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公比，並檢查特殊情況。

提示 2

使用此中間關係式。

a_3a_7=a_5^2

完整解答

使用公比，並檢查特殊情況。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$a_3a_7=a_1^2q^8=a_5^2=100$
非零等比數列中，下標和相同的兩項乘積相同。

所求值為 100。

檢查與易錯點：非零等比數列中，下標和相同的兩項乘積相同。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求 t 與4t 之間所有實數等比中項。

t=11

等比數列公比以非零項定義；q=1 時使用 Sn=na1。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公比，並檢查特殊情況。

提示 2

使用此中間關係式。

b^2=ac

完整解答

使用公比，並檢查特殊情況。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$b^2=11\cdot44=484$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$b=\pm22$
未限制中項為正時，正負兩值均可能。

所求關係或結論如下。

b=\pm22

檢查與易錯點：未限制中項為正時，正負兩值均可能。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

等比數列有 S2=t、S4=5t。求 q²。

t=12

等比數列公比以非零項定義；q=1 時使用 Sn=na1。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公比，並檢查特殊情況。

提示 2

使用此中間關係式。

S_4=S_2(1+q^2)

完整解答

使用公比，並檢查特殊情況。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$5=1+q^2$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$q^2=4$
因 S2 非零可相除；方程只確定 q²，未確定 q 的正負。

所求值為 4。

檢查與易錯點：因 S2 非零可相除；方程只確定 q²，未確定 q 的正負。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求 t 與4t 之間所有實數等比中項。

t=13

等比數列公比以非零項定義；q=1 時使用 Sn=na1。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公比，並檢查特殊情況。

提示 2

使用此中間關係式。

b^2=ac

完整解答

使用公比，並檢查特殊情況。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$b^2=13\cdot52=676$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$b=\pm26$
未限制中項為正時，正負兩值均可能。

所求關係或結論如下。

b=\pm26

檢查與易錯點：未限制中項為正時，正負兩值均可能。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

等比數列有 S2=t、S4=5t。求 q²。

t=14

等比數列公比以非零項定義；q=1 時使用 Sn=na1。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公比，並檢查特殊情況。

提示 2

使用此中間關係式。

S_4=S_2(1+q^2)

完整解答

使用公比，並檢查特殊情況。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$5=1+q^2$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$q^2=4$
因 S2 非零可相除；方程只確定 q²，未確定 q 的正負。

所求值為 4。

檢查與易錯點：因 S2 非零可相除；方程只確定 q²，未確定 q 的正負。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

連結公比、下標次方及有限等比和。
「等比數列」中哪一個條件不可缺少？
公比為負是否代表數列遞減？

板書重點

定義關係：連結公比、下標次方及有限等比和。
$a_n=a_1q^{n-1};\quad S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)$
適用條件：等比數列公比以非零項定義；q=1 時使用 Sn=na1。

預期想法

分母為1−q 的求和公式不能直接用於 q=1。

評核清單

1分：選取正確表示法及條件。
1分：建立中間關係式。
1分：完成連貫的計算或證明。
1分：解釋並檢查結論。