Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

數列的概念

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修 第二册(A版).pdf · 4.1 · PDF 7 / 印刷頁 2

專題 01

數列的概念

連結通項、遞推關係及部分和。

學完之後，你能解釋

  • 連結通項、遞推關係及部分和。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

定義關係

連結通項、遞推關係及部分和。

an=Sn−Sn−1 (n≥2)a_n=S_n-S_{n-1}\ (n\ge2)

適用條件

下標為正整數；a1=S1 須獨立處理。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：部分和公式必定能用於 n=0 嗎？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

前六個等差項：2、3、4、5、6、7；和=27。縱向顯示尺度自動調整，讓六項均可見。

前六個等差項：2、3、4、5、6、7；和=27。縱向顯示尺度自動調整，讓六項均可見。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：比較首項及用相鄰部分和之差求得的其他項。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求 a3。

an=2n+1a_n=2n+1
  • 下標為正整數；a1=S1 須獨立處理。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先表示各項或部分和，再作化簡。
提示 2
使用此中間關係式。
a3=3t+1a_3=3t+1
完整解答

  1. 先表示各項或部分和，再作化簡。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    a3=2⋅3+1=7a_3=2\cdot3+1=7

  3. 下標須代入每個 n 的位置。

所求值為 7。

檢查與易錯點：下標須代入每個 n 的位置。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求使 an>t 的最小正整數下標。

an=2n−1,t=3a_n=2n-1,\quad t=3
  • 下標為正整數；a1=S1 須獨立處理。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先表示各項或部分和，再作化簡。
提示 2
使用此中間關係式。
2n−1>t2n-1>t
完整解答

  1. 先表示各項或部分和，再作化簡。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    n>2n>2

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    nmin⁡=3n_{\min}=3

  4. 嚴格不等式及整數下標要求取下一個較大整數。

所求值為 3。

檢查與易錯點：嚴格不等式及整數下標要求取下一個較大整數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

證明此數列嚴格遞增。

an=1−4n+1,n≥1a_n=1-\frac{4}{n+1},\quad n\ge1
  • 下標為正整數；a1=S1 須獨立處理。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先表示各項或部分和，再作化簡。
提示 2
比較相鄰兩項。
完整解答

  1. 先表示各項或部分和，再作化簡。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    an+1−an=4/[(n+1)(n+2)]>0a_{n+1}-a_n=4/[(n+1)(n+2)]>0

  3. 分母及 t 均為正，故所有允許下標均有遞增性。

所求關係或結論如下。

an+1−an>0a_{n+1}-a_n>0

檢查與易錯點：分母及 t 均為正，故所有允許下標均有遞增性。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求 a3。

an=5n+1a_n=5n+1
  • 下標為正整數；a1=S1 須獨立處理。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先表示各項或部分和，再作化簡。
提示 2
使用此中間關係式。
a3=3t+1a_3=3t+1
完整解答

  1. 先表示各項或部分和，再作化簡。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    a3=5⋅3+1=16a_3=5\cdot3+1=16

  3. 下標須代入每個 n 的位置。

所求值為 16。

檢查與易錯點：下標須代入每個 n 的位置。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

由遞推式求 a4。

a1=2,an+1=an+6a_1=2,\quad a_{n+1}=a_n+6
  • 下標為正整數；a1=S1 須獨立處理。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先表示各項或部分和，再作化簡。
提示 2
使用此中間關係式。
a4=a1+3ta_4=a_1+3t
完整解答

  1. 先表示各項或部分和，再作化簡。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    a2=8, a3=14, a4=20a_2=8,\ a_3=14,\ a_4=20

  3. 從下標1到4須作三次遞推。

所求值為 20。

檢查與易錯點：從下標1到4須作三次遞推。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求 a1。

Sn=n2+7(n≥1)S_n=n^2+7\quad(n\ge1)
  • 下標為正整數；a1=S1 須獨立處理。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先表示各項或部分和，再作化簡。
提示 2
使用此中間關係式。
a1=S1a_1=S_1
完整解答

  1. 先表示各項或部分和，再作化簡。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    a1=12+7=8a_1=1^2+7=8

  3. 公式未指定 n=0；減去外推的 S0 會錯誤消去常數。

所求值為 8。

檢查與易錯點：公式未指定 n=0；減去外推的 S0 會錯誤消去常數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求 a5。

Sn=8n2+1(n≥1)S_n=8n^2+1\quad(n\ge1)
  • 下標為正整數；a1=S1 須獨立處理。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先表示各項或部分和，再作化簡。
提示 2
使用此中間關係式。
a5=S5−S4a_5=S_5-S_4
完整解答

  1. 先表示各項或部分和，再作化簡。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    a5=(200+1)−(128+1)=72a_5=(200+1)-(128+1)=72

  3. n≥2 時，相鄰部分和之差會消去常數。

所求值為 72。

檢查與易錯點：n≥2 時，相鄰部分和之差會消去常數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求 a5。

Sn=9n2+1(n≥1)S_n=9n^2+1\quad(n\ge1)
  • 下標為正整數；a1=S1 須獨立處理。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先表示各項或部分和，再作化簡。
提示 2
使用此中間關係式。
a5=S5−S4a_5=S_5-S_4
完整解答

  1. 先表示各項或部分和，再作化簡。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    a5=(225+1)−(144+1)=81a_5=(225+1)-(144+1)=81

  3. n≥2 時，相鄰部分和之差會消去常數。

所求值為 81。

檢查與易錯點：n≥2 時，相鄰部分和之差會消去常數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求使 an>t 的最小正整數下標。

an=2n−1,t=10a_n=2n-1,\quad t=10
  • 下標為正整數；a1=S1 須獨立處理。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先表示各項或部分和，再作化簡。
提示 2
使用此中間關係式。
2n−1>t2n-1>t
完整解答

  1. 先表示各項或部分和，再作化簡。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    n>5.5n>5.5

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    nmin⁡=6n_{\min}=6

  4. 嚴格不等式及整數下標要求取下一個較大整數。

所求值為 6。

檢查與易錯點：嚴格不等式及整數下標要求取下一個較大整數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求前 t 項和。

an=1n(n+1),t=11a_n=\frac1{n(n+1)},\quad t=11
  • 下標為正整數；a1=S1 須獨立處理。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先表示各項或部分和，再作化簡。
提示 2
使用此中間關係式。
1/[n(n+1)]=1/n−1/(n+1)1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)
完整解答

  1. 先表示各項或部分和，再作化簡。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    St=(1−1/2)+(1/2−1/3)+⋯+(1/11−1/12)S_t=(1-1/2)+(1/2-1/3)+\cdots+(1/11-1/12)

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    St=1−1/12=11/12S_t=1-1/12=11/12

  4. 裂項相消後須保留兩個邊界項。

所求值為 0.916666666667。

檢查與易錯點：裂項相消後須保留兩個邊界項。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

證明此數列嚴格遞增。

an=1−12n+1,n≥1a_n=1-\frac{12}{n+1},\quad n\ge1
  • 下標為正整數；a1=S1 須獨立處理。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先表示各項或部分和，再作化簡。
提示 2
比較相鄰兩項。
完整解答

  1. 先表示各項或部分和，再作化簡。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    an+1−an=12/[(n+1)(n+2)]>0a_{n+1}-a_n=12/[(n+1)(n+2)]>0

  3. 分母及 t 均為正，故所有允許下標均有遞增性。

所求關係或結論如下。

an+1−an>0a_{n+1}-a_n>0

檢查與易錯點：分母及 t 均為正，故所有允許下標均有遞增性。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求前 t 項和。

an=1n(n+1),t=13a_n=\frac1{n(n+1)},\quad t=13
  • 下標為正整數；a1=S1 須獨立處理。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先表示各項或部分和，再作化簡。
提示 2
使用此中間關係式。
1/[n(n+1)]=1/n−1/(n+1)1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)
完整解答

  1. 先表示各項或部分和，再作化簡。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    St=(1−1/2)+(1/2−1/3)+⋯+(1/13−1/14)S_t=(1-1/2)+(1/2-1/3)+\cdots+(1/13-1/14)

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    St=1−1/14=13/14S_t=1-1/14=13/14

  4. 裂項相消後須保留兩個邊界項。

所求值為 0.928571428571。

檢查與易錯點：裂項相消後須保留兩個邊界項。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

證明此數列嚴格遞增。

an=1−14n+1,n≥1a_n=1-\frac{14}{n+1},\quad n\ge1
  • 下標為正整數；a1=S1 須獨立處理。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先表示各項或部分和，再作化簡。
提示 2
比較相鄰兩項。
完整解答

  1. 先表示各項或部分和，再作化簡。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    an+1−an=14/[(n+1)(n+2)]>0a_{n+1}-a_n=14/[(n+1)(n+2)]>0

  3. 分母及 t 均為正，故所有允許下標均有遞增性。

所求關係或結論如下。

an+1−an>0a_{n+1}-a_n>0

檢查與易錯點：分母及 t 均為正，故所有允許下標均有遞增性。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    教師備課與評核

    提問順序

    • 連結通項、遞推關係及部分和。
    • 「數列的概念」中哪一個條件不可缺少？
    • 部分和公式必定能用於 n=0 嗎？

    板書重點

    • 定義關係：連結通項、遞推關係及部分和。
      an=Sn−Sn−1 (n≥2)a_n=S_n-S_{n-1}\ (n\ge2)
    • 適用條件：下標為正整數；a1=S1 須獨立處理。

    預期想法

    • 把只對 n≥1 成立的公式延伸到 S0，可能得到錯誤首項。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

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