Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

直線的方程

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修 第一册(A版).pdf · 2.2 · PDF 64 / 印刷頁 59

先重溫：直線的傾斜角與斜率

專題 01

直線的方程

選擇點斜式、兩點式、截距式或一般式，避免漏掉特殊直線。

學完之後，你能解釋

  • 選擇點斜式、兩點式、截距式或一般式，避免漏掉特殊直線。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

一般式

A、B 不同時為零時，Ax+By+C=0 表示直線。

A(x−x0)+B(y−y0)=0A(x-x_0)+B(y-y_0)=0

形式限制

點斜式不包含鉛直線；截距式要求兩截距非零。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：哪些常用形式能描述通過原點或鉛直的直線？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

y=1x+1；傾斜角以 180° 為週期；原點至直線距離=0.7071。斜截式不包括垂直直線。

y=1x+1；傾斜角以 180° 為週期；原點至直線距離=0.7071。斜截式不包括垂直直線。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：比較等價形式，指出除法排除了哪些情況。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求通過 (2,3) 且斜率為 t 的直線。

t=2t=2
  • 點斜式不包含鉛直線；截距式要求兩截距非零。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
y−y0=m(x−x0)y-y_0=m(x-x_0)
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    y−3=2(x−2)y-3=2(x-2)

  3. 代入所給點可檢查常數。

所求關係或結論如下。

y−3=2(x−2)y-3=2(x-2)

檢查與易錯點：代入所給點可檢查常數。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求 (0,0)、(2t,0) 的垂直平分線。

t=3t=3
  • 點斜式不包含鉛直線；截距式要求兩截距非零。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
M=(t,0),AB horizontalM=(t,0),\quad AB\text{ horizontal}
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    M=(3,0)M=(3,0)

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=3x=3

  4. 垂直平分線由到兩端點距離相同的點組成。

所求關係或結論如下。

x=3x=3

檢查與易錯點：垂直平分線由到兩端點距離相同的點組成。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

求此直線族共同通過的固定點。

(x−4)+λ(y−8)=0(x-4)+\lambda(y-8)=0
  • 點斜式不包含鉛直線；截距式要求兩截距非零。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
常數部分及參數係數須同時為零。
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=4,y=8x=4, y=8

  3. 此點適用於每個實參數。

所求關係或結論如下。

P=(4,8)P=(4,8)

檢查與易錯點：此點適用於每個實參數。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求通過 (2,3) 且斜率為 t 的直線。

t=5t=5
  • 點斜式不包含鉛直線；截距式要求兩截距非零。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
y−y0=m(x−x0)y-y_0=m(x-x_0)
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    y−3=5(x−2)y-3=5(x-2)

  3. 代入所給點可檢查常數。

所求關係或結論如下。

y−3=5(x−2)y-3=5(x-2)

檢查與易錯點：代入所給點可檢查常數。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求通過 (t,1)、(t,5) 的直線。

t=6t=6
  • 點斜式不包含鉛直線；截距式要求兩截距非零。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
x1=x2x_1=x_2
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=6x=6

  3. 直接使用鉛直線方程，避免在斜率公式中除以零。

所求關係或結論如下。

x=6x=6

檢查與易錯點：直接使用鉛直線方程，避免在斜率公式中除以零。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

直線的 x 截距為 t，且通過 (0,4)。求 y 截距。

t=7t=7
  • 點斜式不包含鉛直線；截距式要求兩截距非零。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
x/t+y/b=1x/t+y/b=1
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (0,4)⇒4/b=1⇒b=4(0,4)\Rightarrow4/b=1\Rightarrow b=4

  3. 截距是帶正負號的座標，不是距離。

所求值為 4。

檢查與易錯點：截距是帶正負號的座標，不是距離。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求 C，使 Ax+By+C=0 通過 P。

A=2, B=−3, P=(8,1)A=2,\ B=-3,\ P=(8,1)
  • 點斜式不包含鉛直線；截距式要求兩截距非零。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
C=−AxP−ByPC=-Ax_P-By_P
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    C=−2(8)+3=−13C=-2(8)+3=-13

  3. 點在直線上，等價於代入後的式子為零。

所求值為 -13。

檢查與易錯點：點在直線上，等價於代入後的式子為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求 C，使 Ax+By+C=0 通過 P。

A=2, B=−3, P=(9,1)A=2,\ B=-3,\ P=(9,1)
  • 點斜式不包含鉛直線；截距式要求兩截距非零。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
C=−AxP−ByPC=-Ax_P-By_P
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    C=−2(9)+3=−15C=-2(9)+3=-15

  3. 點在直線上，等價於代入後的式子為零。

所求值為 -15。

檢查與易錯點：點在直線上，等價於代入後的式子為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求 (0,0)、(2t,0) 的垂直平分線。

t=10t=10
  • 點斜式不包含鉛直線；截距式要求兩截距非零。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
M=(t,0),AB horizontalM=(t,0),\quad AB\text{ horizontal}
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    M=(10,0)M=(10,0)

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=10x=10

  4. 垂直平分線由到兩端點距離相同的點組成。

所求關係或結論如下。

x=10x=10

檢查與易錯點：垂直平分線由到兩端點距離相同的點組成。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求直線關於 y 軸的對稱直線。

y=11x+2y=11x+2
  • 點斜式不包含鉛直線；截距式要求兩截距非零。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
x↦−xx\mapsto-x
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    y=11(−x)+2=−11x+2y=11(-x)+2=-11x+2

  3. 關於 y 軸對稱會反轉 x 座標的正負，保留 y 座標。

所求關係或結論如下。

y=−11x+2y=-11x+2

檢查與易錯點：關於 y 軸對稱會反轉 x 座標的正負，保留 y 座標。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

求此直線族共同通過的固定點。

(x−12)+λ(y−24)=0(x-12)+\lambda(y-24)=0
  • 點斜式不包含鉛直線；截距式要求兩截距非零。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
常數部分及參數係數須同時為零。
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=12,y=24x=12, y=24

  3. 此點適用於每個實參數。

所求關係或結論如下。

P=(12,24)P=(12,24)

檢查與易錯點：此點適用於每個實參數。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求直線關於 y 軸的對稱直線。

y=13x+2y=13x+2
  • 點斜式不包含鉛直線；截距式要求兩截距非零。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
x↦−xx\mapsto-x
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    y=13(−x)+2=−13x+2y=13(-x)+2=-13x+2

  3. 關於 y 軸對稱會反轉 x 座標的正負，保留 y 座標。

所求關係或結論如下。

y=−13x+2y=-13x+2

檢查與易錯點：關於 y 軸對稱會反轉 x 座標的正負，保留 y 座標。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

求此直線族共同通過的固定點。

(x−14)+λ(y−28)=0(x-14)+\lambda(y-28)=0
  • 點斜式不包含鉛直線；截距式要求兩截距非零。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
常數部分及參數係數須同時為零。
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=14,y=28x=14, y=28

  3. 此點適用於每個實參數。

所求關係或結論如下。

P=(14,28)P=(14,28)

檢查與易錯點：此點適用於每個實參數。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    教師備課與評核

    提問順序

    • 選擇點斜式、兩點式、截距式或一般式，避免漏掉特殊直線。
    • 「直線的方程」中哪一個條件不可缺少？
    • 哪些常用形式能描述通過原點或鉛直的直線？

    板書重點

    • 一般式：A、B 不同時為零時，Ax+By+C=0 表示直線。
      A(x−x0)+B(y−y0)=0A(x-x_0)+B(y-y_0)=0
    • 形式限制：點斜式不包含鉛直線；截距式要求兩截距非零。

    預期想法

    • 用參數除方程可能無意中刪去有效直線。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

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