Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

直線的傾斜角與斜率

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修 第一册(A版).pdf · 2.1 · PDF 56 / 印刷頁 51

先重溫：指數

專題 01

直線的傾斜角與斜率

連結斜率、傾斜角及平行垂直方向，並處理鉛直直線。

學完之後，你能解釋

  • 連結斜率、傾斜角及平行垂直方向，並處理鉛直直線。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

斜率

非鉛直直線的斜率為縱向變化除以橫向變化，等於傾斜角的正切。

m=(y2−y1)/(x2−x1)m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)

特殊方向

鉛直直線沒有有限斜率；m1m2=−1 只在兩個斜率均存在時適用。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：越陡的直線是否總有較大的斜率？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

y=1x+1；傾斜角以 180° 為週期；原點至直線距離=0.7071。斜截式不包括垂直直線。

y=1x+1；傾斜角以 180° 為週期；原點至直線距離=0.7071。斜截式不包括垂直直線。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：比較正斜率、負斜率及接近鉛直的情況。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求 AB 的斜率。

A=(1,2), B=(3,6)A=(1,2),\ B=(3,6)
  • 鉛直直線沒有有限斜率；m1m2=−1 只在兩個斜率均存在時適用。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
m=Δy/Δxm=\Delta y/\Delta x
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    m=(6−2)/(3−1)=2m=(6-2)/(3-1)=2

  3. 分子分母必須使用一致的兩點次序。

所求值為 2。

檢查與易錯點：分子分母必須使用一致的兩點次序。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求 a，使兩條非鉛直直線平行。

y=(2a+1)x+3,y=7x−1y=(2a+1)x+3,\quad y=7x-1
  • 鉛直直線沒有有限斜率；m1m2=−1 只在兩個斜率均存在時適用。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
2a+1=2t+12a+1=2t+1
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    2a+1=7⇒a=32a+1=7\Rightarrow a=3

  3. 斜率相同且截距不同，保證為兩條相異平行線。

所求值為 3。

檢查與易錯點：斜率相同且截距不同，保證為兩條相異平行線。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

通過 O 的直線與 A=(t,1)、B=(t,3) 的線段相交。求斜率範圍。

t=4t=4
  • 鉛直直線沒有有限斜率；m1m2=−1 只在兩個斜率均存在時適用。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
y=mt,1≤y≤3y=mt,\quad 1\le y\le3
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    1≤4m≤31\le 4m\le3

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    1/4≤m≤3/41/4\le m\le3/4

  4. 線段給出閉區間；若改成整條支撐直線，答案會改變。

所求關係或結論如下。

14≤m≤34\frac1{4}\le m\le\frac3{4}

檢查與易錯點：線段給出閉區間；若改成整條支撐直線，答案會改變。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求 AB 的斜率。

A=(1,2), B=(3,12)A=(1,2),\ B=(3,12)
  • 鉛直直線沒有有限斜率；m1m2=−1 只在兩個斜率均存在時適用。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
m=Δy/Δxm=\Delta y/\Delta x
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    m=(12−2)/(3−1)=5m=(12-2)/(3-1)=5

  3. 分子分母必須使用一致的兩點次序。

所求值為 5。

檢查與易錯點：分子分母必須使用一致的兩點次序。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

直線傾斜角為135°。求斜率。

m=tan⁡135∘m=\tan135^\circ
  • 鉛直直線沒有有限斜率；m1m2=−1 只在兩個斜率均存在時適用。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
tan⁡(180∘−45∘)=−tan⁡45∘\tan(180^\circ-45^\circ)=-\tan45^\circ
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    m=−1m=-1

  3. 傾斜角在 [0°,180°)；第二象限的正切為負。

所求值為 -1。

檢查與易錯點：傾斜角在 [0°,180°)；第二象限的正切為負。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

描述此直線的傾斜角及斜率。

x=7x=7
  • 鉛直直線沒有有限斜率；m1m2=−1 只在兩個斜率均存在時適用。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
Δx=0\Delta x=0
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    m=Δy/0 is not definedm=\Delta y/0\text{ is not defined}

  3. 不要把未定義的斜率當作數值無窮大。

所求關係或結論如下。

α=90∘;m undefined\alpha=90^\circ;\quad m\text{ undefined}

檢查與易錯點：不要把未定義的斜率當作數值無窮大。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求垂直於 y=tx+1 的直線斜率。

t=8t=8
  • 鉛直直線沒有有限斜率；m1m2=−1 只在兩個斜率均存在時適用。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
m1m2=−1m_1m_2=-1
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    m2=−1/8m_2=-1/8

  3. 所給斜率非零，可以使用負倒數法則。

所求值為 -0.125。

檢查與易錯點：所給斜率非零，可以使用負倒數法則。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求垂直於 y=tx+1 的直線斜率。

t=9t=9
  • 鉛直直線沒有有限斜率；m1m2=−1 只在兩個斜率均存在時適用。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
m1m2=−1m_1m_2=-1
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    m2=−1/9m_2=-1/9

  3. 所給斜率非零，可以使用負倒數法則。

所求值為 -0.111111111111。

檢查與易錯點：所給斜率非零，可以使用負倒數法則。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求 a，使兩條非鉛直直線平行。

y=(2a+1)x+3,y=21x−1y=(2a+1)x+3,\quad y=21x-1
  • 鉛直直線沒有有限斜率；m1m2=−1 只在兩個斜率均存在時適用。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
2a+1=2t+12a+1=2t+1
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    2a+1=21⇒a=102a+1=21\Rightarrow a=10

  3. 斜率相同且截距不同，保證為兩條相異平行線。

所求值為 10。

檢查與易錯點：斜率相同且截距不同，保證為兩條相異平行線。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求斜率為0及 t 的兩直線銳角之正切。

t=11t=11
  • 鉛直直線沒有有限斜率；m1m2=−1 只在兩個斜率均存在時適用。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
tan⁡θ=∣(m2−m1)/(1+m1m2)∣\tan\theta=|(m_2-m_1)/(1+m_1m_2)|
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    tan⁡θ=∣(11−0)/(1+0)∣=11\tan\theta=|(11-0)/(1+0)|=11

  3. 此題分母非零；垂直直線須另行處理。

所求值為 11。

檢查與易錯點：此題分母非零；垂直直線須另行處理。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

通過 O 的直線與 A=(t,1)、B=(t,3) 的線段相交。求斜率範圍。

t=12t=12
  • 鉛直直線沒有有限斜率；m1m2=−1 只在兩個斜率均存在時適用。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
y=mt,1≤y≤3y=mt,\quad 1\le y\le3
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    1≤12m≤31\le 12m\le3

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    1/12≤m≤3/121/12\le m\le3/12

  4. 線段給出閉區間；若改成整條支撐直線，答案會改變。

所求關係或結論如下。

112≤m≤312\frac1{12}\le m\le\frac3{12}

檢查與易錯點：線段給出閉區間；若改成整條支撐直線，答案會改變。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求斜率為0及 t 的兩直線銳角之正切。

t=13t=13
  • 鉛直直線沒有有限斜率；m1m2=−1 只在兩個斜率均存在時適用。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
tan⁡θ=∣(m2−m1)/(1+m1m2)∣\tan\theta=|(m_2-m_1)/(1+m_1m_2)|
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    tan⁡θ=∣(13−0)/(1+0)∣=13\tan\theta=|(13-0)/(1+0)|=13

  3. 此題分母非零；垂直直線須另行處理。

所求值為 13。

檢查與易錯點：此題分母非零；垂直直線須另行處理。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

通過 O 的直線與 A=(t,1)、B=(t,3) 的線段相交。求斜率範圍。

t=14t=14
  • 鉛直直線沒有有限斜率；m1m2=−1 只在兩個斜率均存在時適用。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
y=mt,1≤y≤3y=mt,\quad 1\le y\le3
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    1≤14m≤31\le 14m\le3

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    1/14≤m≤3/141/14\le m\le3/14

  4. 線段給出閉區間；若改成整條支撐直線，答案會改變。

所求關係或結論如下。

114≤m≤314\frac1{14}\le m\le\frac3{14}

檢查與易錯點：線段給出閉區間；若改成整條支撐直線，答案會改變。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    教師備課與評核

    提問順序

    • 連結斜率、傾斜角及平行垂直方向，並處理鉛直直線。
    • 「直線的傾斜角與斜率」中哪一個條件不可缺少？
    • 越陡的直線是否總有較大的斜率？

    板書重點

    • 斜率：非鉛直直線的斜率為縱向變化除以橫向變化，等於傾斜角的正切。
      m=(y2−y1)/(x2−x1)m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)
    • 特殊方向：鉛直直線沒有有限斜率；m1m2=−1 只在兩個斜率均存在時適用。

    預期想法

    • 鉛直線與水平線垂直，雖然鉛直線斜率未定義。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

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