學習・解釋・訂正

指數

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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先重溫：函數的應用（一）

專題 01

指數

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握指數。

學完之後，你能解釋

解讀及運用指數，並檢查定義域。
連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

指數法則

在適用範圍內使用同底乘除法則。

a^ma^n=a^{m+n}

方根

算術偶次根非負；奇次根允許負的被開方數。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「指數」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

指數圖像：水平平移 0，垂直平移 0；自變量改成 x−0。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

化簡乘積。

2^{2}\cdot2^3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在符合實數定義域時使用指數法則。

提示 2

同底冪相乘，指數相加。

完整解答

只在符合實數定義域時使用指數法則。
計算或化簡此關係式。
$2^{2+3}=2^{5}=32$
此法則要求底數相同。

所求值為 32。

檢查與易錯點：此法則要求底數相同。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

計算負指數冪。

2^{-2}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在符合實數定義域時使用指數法則。

提示 2

負指數表示倒數。

完整解答

只在符合實數定義域時使用指數法則。
計算或化簡此關係式。
$2^{-2}=1/4$
負指數並不表示答案為負。

所求值為 0.25。

檢查與易錯點：負指數並不表示答案為負。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

不用小數近似比較兩冪。

(1/2)^2,\quad(1/2)^3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在符合實數定義域時使用指數法則。

提示 2

共同底數介乎零與一。

完整解答

只在符合實數定義域時使用指數法則。
計算或化簡此關係式。
$(1/2)^2-(1/2)^3=(2-1)/8>0$
底數介乎零與一時，增大正指數會減小冪值。

平方的值較大。

檢查與易錯點：底數介乎零與一時，增大正指數會減小冪值。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

化簡乘積。

2^{3}\cdot2^3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在符合實數定義域時使用指數法則。

提示 2

同底冪相乘，指數相加。

完整解答

只在符合實數定義域時使用指數法則。
計算或化簡此關係式。
$2^{3+3}=2^{6}=64$
此法則要求底數相同。

所求值為 64。

檢查與易錯點：此法則要求底數相同。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

計算負指數冪。

3^{-2}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在符合實數定義域時使用指數法則。

提示 2

負指數表示倒數。

完整解答

只在符合實數定義域時使用指數法則。
計算或化簡此關係式。
$3^{-2}=1/9$
負指數並不表示答案為負。

所求值為 0.11111111。

檢查與易錯點：負指數並不表示答案為負。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

計算有理數冪。

27^{2/3}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在符合實數定義域時使用指數法則。

提示 2

先取立方根再平方。

完整解答

只在符合實數定義域時使用指數法則。
計算或化簡此關係式。
$(27)^{2/3}=(\sqrt[3]{27})^2=9$
底數為正，兩種計算次序均有效。

所求值為 9。

檢查與易錯點：底數為正，兩種計算次序均有效。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

a>0，化簡。

\frac{a^{7}}{a^{3}}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在符合實數定義域時使用指數法則。

提示 2

同一非零底數的冪相除，指數相減。

完整解答

只在符合實數定義域時使用指數法則。
計算或化簡此關係式。
$a^{7-3}=a^4$
相除要求底數非零。

a⁴。

檢查與易錯點：相除要求底數非零。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

解釋為何此處不能用 a⁰=1 決定 0⁰。

a^0=1\quad(a\ne0)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在符合實數定義域時使用指數法則。

提示 2

檢查推導中的分母。

完整解答

只在符合實數定義域時使用指數法則。
計算或化簡此關係式。
$a^m/a^m=1=a^0\quad(a\ne0)$
此通常實數指數法則的推導排除 a=0。

此法則由除以非零冪推導。

檢查與易錯點：此通常實數指數法則的推導排除 a=0。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

對所有實數 x 化簡，包括負 x。

\sqrt{x^2}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在符合實數定義域時使用指數法則。

提示 2

算術平方根非負。

完整解答

只在符合實數定義域時使用指數法則。
計算或化簡此關係式。
$\sqrt{x^2}=|x|\ge0$
若改成 x，則在 x<0 時失敗。

|x|。

檢查與易錯點：若改成 x，則在 x<0 時失敗。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

不用小數近似比較兩冪。

(1/3)^2,\quad(1/3)^3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在符合實數定義域時使用指數法則。

提示 2

共同底數介乎零與一。

完整解答

只在符合實數定義域時使用指數法則。
計算或化簡此關係式。
$(1/3)^2-(1/3)^3=(3-1)/27>0$
底數介乎零與一時，增大正指數會減小冪值。

平方的值較大。

檢查與易錯點：底數介乎零與一時，增大正指數會減小冪值。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

化簡乘積。

2^{4}\cdot2^3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在符合實數定義域時使用指數法則。

提示 2

同底冪相乘，指數相加。

完整解答

只在符合實數定義域時使用指數法則。
計算或化簡此關係式。
$2^{4+3}=2^{7}=128$
此法則要求底數相同。

所求值為 128。

檢查與易錯點：此法則要求底數相同。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

計算負指數冪。

4^{-2}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在符合實數定義域時使用指數法則。

提示 2

負指數表示倒數。

完整解答

只在符合實數定義域時使用指數法則。
計算或化簡此關係式。
$4^{-2}=1/16$
負指數並不表示答案為負。

所求值為 0.0625。

檢查與易錯點：負指數並不表示答案為負。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

計算有理數冪。

64^{2/3}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

只在符合實數定義域時使用指數法則。

提示 2

先取立方根再平方。

完整解答

只在符合實數定義域時使用指數法則。
計算或化簡此關係式。
$(64)^{2/3}=(\sqrt[3]{64})^2=16$
底數為正，兩種計算次序均有效。

所求值為 16。

檢查與易錯點：底數為正，兩種計算次序均有效。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

使用「指數」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
改變一項假設後，原結論還成立嗎？

板書重點

解讀及運用指數，並檢查定義域。
指數法則：在適用範圍內使用同底乘除法則。
$a^ma^n=a^{m+n}$
方根：算術偶次根非負；奇次根允許負的被開方數。
總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

預期想法

預期理由：在適用範圍內使用同底乘除法則。
預期理由：算術偶次根非負；奇次根允許負的被開方數。
預期修正：x² 的平方根為 |x|，不一定是 x。

評核清單

1：辨識已知條件及所求。
1：選取合適定義、表示或方法。
1：推理連貫且正確。
1：檢驗條件並解釋結果。