學習・解釋・訂正

直線與圓、圓與圓的位置關係

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修第一册(A版).pdf · 2.5 · PDF 96 / 印刷頁 91

先重溫：圓的方程

專題 01

直線與圓、圓與圓的位置關係

用距離、判別式及公共弦分類相交與相切關係。

學完之後，你能解釋

用距離、判別式及公共弦分類相交與相切關係。
在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

直線與圓的關係

比較圓心到直線的距離與半徑；割線的半弦長為 √(r²−d²)。

兩圓條件

比較圓心距與 r1+r2 及 |r1−r2|；同心圓須另行處理。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：割線逐漸移離圓心時，交點個數怎樣改變？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

圓 x²+y²=4，直線 y=1；交點數=2，弦長=3.4641。恰在 h=r 時相切。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：分別用距離及二次式判別式解釋同一轉變。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求公共點個數。

x^2+y^2=4,\quad y=2

比較圓心距與 r1+r2 及 |r1−r2|；同心圓須另行處理。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

使用此中間關係式。

d=r

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$d=2=r\Rightarrow\text{tangent}$
距離等於半徑時有一個切點。

所求值為 1。

檢查與易錯點：距離等於半徑時有一個切點。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求根軸，並說明何時它是公共弦所在直線。

x^2+y^2=25,\quad(x-3)^2+y^2=25

比較圓心距與 r1+r2 及 |r1−r2|；同心圓須另行處理。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

把兩個方程相減。

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$-2(3)x+9=0$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$x=3/2$
圓心距為 3。有兩個公共點，因此此線是公共弦所在直線。

所求關係或結論如下。

x=1.5

檢查與易錯點：圓心距為 3。有兩個公共點，因此此線是公共弦所在直線。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

求使 y=a 與圓 x²+y²=t² 相切的所有 a。

t=4

比較圓心距與 r1+r2 及 |r1−r2|；同心圓須另行處理。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

使用此中間關係式。

d=|a|=r

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$|a|=4\Rightarrow a=\pm4$
須保留上方及下方兩條水平切線。

所求關係或結論如下。

a=\pm4

檢查與易錯點：須保留上方及下方兩條水平切線。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求公共點個數。

x^2+y^2=25,\quad y=5

比較圓心距與 r1+r2 及 |r1−r2|；同心圓須另行處理。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

使用此中間關係式。

d=r

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$d=5=r\Rightarrow\text{tangent}$
距離等於半徑時有一個切點。

所求值為 1。

檢查與易錯點：距離等於半徑時有一個切點。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求弦長。

x^2+y^2=25,\quad y=3

比較圓心距與 r1+r2 及 |r1−r2|；同心圓須另行處理。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

使用此中間關係式。

L=2\sqrt{r^2-d^2}

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$L=2\sqrt{25-9}=8$
圓心到弦的垂線平分此弦。

所求值為 8。

檢查與易錯點：圓心到弦的垂線平分此弦。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求 P 到圓的切線長。

P=(9,0),\quad x^2+y^2=4

比較圓心距與 r1+r2 及 |r1−r2|；同心圓須另行處理。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

使用此中間關係式。

PT^2=OP^2-r^2

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$PT=\sqrt{81-4}$
外點、切點及圓心形成直角三角形。

所求值為 8.77496438739。

檢查與易錯點：外點、切點及圓心形成直角三角形。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

分類這兩個圓的位置關係。

C_1:x^2+y^2=64, C_2:(x-11)^2+y^2=9

比較圓心距與 r1+r2 及 |r1−r2|；同心圓須另行處理。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

使用此中間關係式。

d=r1+r2

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$d=11=r_1+r_2$
兩圓外切。

所求關係或結論如下。

d=r_1+r_2=11

檢查與易錯點：兩圓外切。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

分類這兩個圓的位置關係。

C_1:x^2+y^2=81, C_2:(x-12)^2+y^2=9

比較圓心距與 r1+r2 及 |r1−r2|；同心圓須另行處理。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

使用此中間關係式。

d=r1+r2

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$d=12=r_1+r_2$
兩圓外切。

所求關係或結論如下。

d=r_1+r_2=12

檢查與易錯點：兩圓外切。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求根軸，並說明何時它是公共弦所在直線。

x^2+y^2=25,\quad(x-10)^2+y^2=25

比較圓心距與 r1+r2 及 |r1−r2|；同心圓須另行處理。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

把兩個方程相減。

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$-2(10)x+100=0$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$x=10/2$
圓心距為 10。兩圓相切，沒有非零公共弦。

所求關係或結論如下。

x=5

檢查與易錯點：圓心距為 10。兩圓相切，沒有非零公共弦。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求在所給點的切線。

x^2+y^2=3025, P=(33,44)

比較圓心距與 r1+r2 及 |r1−r2|；同心圓須另行處理。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

半徑是切線的法向量。

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$3(x-33)+4(y-44)=0$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$3x+4y=275$
所給點在圓上，並決定切線常數。

所求關係或結論如下。

3x+4y=275

檢查與易錯點：所給點在圓上，並決定切線常數。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

求使 y=a 與圓 x²+y²=t² 相切的所有 a。

t=12

比較圓心距與 r1+r2 及 |r1−r2|；同心圓須另行處理。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

使用此中間關係式。

d=|a|=r

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$|a|=12\Rightarrow a=\pm12$
須保留上方及下方兩條水平切線。

所求關係或結論如下。

a=\pm12

檢查與易錯點：須保留上方及下方兩條水平切線。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求在所給點的切線。

x^2+y^2=4225, P=(39,52)

比較圓心距與 r1+r2 及 |r1−r2|；同心圓須另行處理。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

半徑是切線的法向量。

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$3(x-39)+4(y-52)=0$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$3x+4y=325$
所給點在圓上，並決定切線常數。

所求關係或結論如下。

3x+4y=325

檢查與易錯點：所給點在圓上，並決定切線常數。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

求使 y=a 與圓 x²+y²=t² 相切的所有 a。

t=14

比較圓心距與 r1+r2 及 |r1−r2|；同心圓須另行處理。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

使用此中間關係式。

d=|a|=r

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$|a|=14\Rightarrow a=\pm14$
須保留上方及下方兩條水平切線。

所求關係或結論如下。

a=\pm14

檢查與易錯點：須保留上方及下方兩條水平切線。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

用距離、判別式及公共弦分類相交與相切關係。
「直線與圓、圓與圓的位置關係」中哪一個條件不可缺少？
割線逐漸移離圓心時，交點個數怎樣改變？

板書重點

直線與圓的關係：比較圓心到直線的距離與半徑；割線的半弦長為 √(r²−d²)。
兩圓條件：比較圓心距與 r1+r2 及 |r1−r2|；同心圓須另行處理。

預期想法

只有相異圓心及正半徑時，圓心距等於半徑差才表示內切。

評核清單

1分：選取正確表示法及條件。
1分：建立中間關係式。
1分：完成連貫的計算或證明。
1分：解釋並檢查結論。