Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

圓的方程

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修 第一册(A版).pdf · 2.4 · PDF 87 / 印刷頁 82

先重溫：直線的交點座標與距離公式

專題 01

圓的方程

由圓心、半徑、直徑及點的條件建立圓的方程。

學完之後，你能解釋

  • 由圓心、半徑、直徑及點的條件建立圓的方程。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

標準式

圓是與圓心相距固定正距離的點的軌跡。

(x−h)2+(y−k)2=r2(x-h)^2+(y-k)^2=r^2

存在條件

在一般式中，非退化圓要求 (D²+E²)/4−F>0。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：預測常數穿過零半徑臨界值時，圓方程的圖形怎樣改變。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

圓 x²+y²=4，直線 y=1；交點數=2，弦長=3.4641。恰在 h=r 時相切。

圓 x²+y²=4，直線 y=1；交點數=2，弦長=3.4641。恰在 h=r 時相切。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：用配方比較圓、單點及沒有實點的軌跡。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求圓的半徑。

(x−2)2+(y+1)2=4(x-2)^2+(y+1)^2=4
  • 在一般式中，非退化圓要求 (D²+E²)/4−F>0。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先配方，再讀取幾何參數。
提示 2
使用此中間關係式。
r2=t2r^2=t^2
完整解答

  1. 先配方，再讀取幾何參數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    r=4=2r=\sqrt{4}=2

  3. 半徑取正平方根。

所求值為 2。

檢查與易錯點：半徑取正平方根。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求表示實非退化圓的參數範圍。

x2+y2−6x+4y+λ=0x^2+y^2-6x+4y+\lambda=0
  • 在一般式中，非退化圓要求 (D²+E²)/4−F>0。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先配方，再讀取幾何參數。
提示 2
使用此中間關係式。
r2=t2+4−λr²=t²+4−λ
完整解答

  1. 先配方，再讀取幾何參數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (x−3)2+(y+2)2=13−λ(x-3)^2+(y+2)^2=13-\lambda

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    r2>0r^2>0

  4. 零半徑邊界是單點，不是圓。

所求關係或結論如下。

λ<13\lambda<13

檢查與易錯點：零半徑邊界是單點，不是圓。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

圓心為 (t,0)，半徑為2。求圓上最大的 x 座標。

t=4t=4
  • 在一般式中，非退化圓要求 (D²+E²)/4−F>0。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
∣x−t∣≤2|x-t|\le2
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    xmax⁡=4+2=6x_{\max}=4+2=6

  3. 極值點在水平直徑上。

所求值為 6。

檢查與易錯點：極值點在水平直徑上。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求圓的半徑。

(x−2)2+(y+1)2=25(x-2)^2+(y+1)^2=25
  • 在一般式中，非退化圓要求 (D²+E²)/4−F>0。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先配方，再讀取幾何參數。
提示 2
使用此中間關係式。
r2=t2r^2=t^2
完整解答

  1. 先配方，再讀取幾何參數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    r=25=5r=\sqrt{25}=5

  3. 半徑取正平方根。

所求值為 5。

檢查與易錯點：半徑取正平方根。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求圓心的 x 座標。

x2+y2−12x+4y+1=0x^2+y^2-12x+4y+1=0
  • 在一般式中，非退化圓要求 (D²+E²)/4−F>0。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先配方，再讀取幾何參數。
提示 2
使用此中間關係式。
x2−2tx=(x−t)2−t2x^2-2tx=(x-t)^2-t^2
完整解答

  1. 先配方，再讀取幾何參數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (x−6)2+(y+2)2=39(x-6)^2+(y+2)^2=39

  3. 圓心座標的符號與平方括號內的平移量相反。

所求值為 6。

檢查與易錯點：圓心座標的符號與平方括號內的平移量相反。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求以 A、B 為直徑端點的圓之半徑平方。

A=(0,0),B=(14,4)A=(0,0),\quad B=(14,4)
  • 在一般式中，非退化圓要求 (D²+E²)/4−F>0。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
r2=AB2/4r^2=AB^2/4
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    AB2=(2⋅7)2+42AB^2=(2\cdot7)^2+4^2

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    r2=53r^2=53

  4. 半徑為直徑的一半，因此平方為四分之一。

所求值為 53。

檢查與易錯點：半徑為直徑的一半，因此平方為四分之一。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求圓心為 (t,−1) 且通過 (t+3,3) 的圓。

t=8t=8
  • 在一般式中，非退化圓要求 (D²+E²)/4−F>0。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
r2=32+42r^2=3^2+4^2
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    r2=25r^2=25

  3. 使用圓心到所給點的距離；所給點不是圓心。

所求關係或結論如下。

(x−8)2+(y+1)2=25(x-8)^2+(y+1)^2=25

檢查與易錯點：使用圓心到所給點的距離；所給點不是圓心。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求圓心為 (t,−1) 且通過 (t+3,3) 的圓。

t=9t=9
  • 在一般式中，非退化圓要求 (D²+E²)/4−F>0。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
r2=32+42r^2=3^2+4^2
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    r2=25r^2=25

  3. 使用圓心到所給點的距離；所給點不是圓心。

所求關係或結論如下。

(x−9)2+(y+1)2=25(x-9)^2+(y+1)^2=25

檢查與易錯點：使用圓心到所給點的距離；所給點不是圓心。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求表示實非退化圓的參數範圍。

x2+y2−20x+4y+λ=0x^2+y^2-20x+4y+\lambda=0
  • 在一般式中，非退化圓要求 (D²+E²)/4−F>0。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先配方，再讀取幾何參數。
提示 2
使用此中間關係式。
r2=t2+4−λr²=t²+4−λ
完整解答

  1. 先配方，再讀取幾何參數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (x−10)2+(y+2)2=104−λ(x-10)^2+(y+2)^2=104-\lambda

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    r2>0r^2>0

  4. 零半徑邊界是單點，不是圓。

所求關係或結論如下。

λ<104\lambda<104

檢查與易錯點：零半徑邊界是單點，不是圓。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求通過 O=(0,0)、A=(2t,0)、B=(0,2) 的圓。

t=11t=11
  • 在一般式中，非退化圓要求 (D²+E²)/4−F>0。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
F=0;D=−2t;E=−2F=0;\quad D=-2t;\quad E=-2
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    484+22D=0⇒D=−22484+22D=0\Rightarrow D=-22

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    4+2E=0⇒E=−24+2E=0\Rightarrow E=-2

  4. 三個不共線點決定唯一的圓。

所求關係或結論如下。

x2+y2−22x−2y=0x^2+y^2-22x-2y=0

檢查與易錯點：三個不共線點決定唯一的圓。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

圓心為 (t,0)，半徑為2。求圓上最大的 x 座標。

t=12t=12
  • 在一般式中，非退化圓要求 (D²+E²)/4−F>0。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
∣x−t∣≤2|x-t|\le2
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    xmax⁡=12+2=14x_{\max}=12+2=14

  3. 極值點在水平直徑上。

所求值為 14。

檢查與易錯點：極值點在水平直徑上。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求通過 O=(0,0)、A=(2t,0)、B=(0,2) 的圓。

t=13t=13
  • 在一般式中，非退化圓要求 (D²+E²)/4−F>0。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
F=0;D=−2t;E=−2F=0;\quad D=-2t;\quad E=-2
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    676+26D=0⇒D=−26676+26D=0\Rightarrow D=-26

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    4+2E=0⇒E=−24+2E=0\Rightarrow E=-2

  4. 三個不共線點決定唯一的圓。

所求關係或結論如下。

x2+y2−26x−2y=0x^2+y^2-26x-2y=0

檢查與易錯點：三個不共線點決定唯一的圓。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

圓心為 (t,0)，半徑為2。求圓上最大的 x 座標。

t=14t=14
  • 在一般式中，非退化圓要求 (D²+E²)/4−F>0。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
∣x−t∣≤2|x-t|\le2
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    xmax⁡=14+2=16x_{\max}=14+2=16

  3. 極值點在水平直徑上。

所求值為 16。

檢查與易錯點：極值點在水平直徑上。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    教師備課與評核

    提問順序

    • 由圓心、半徑、直徑及點的條件建立圓的方程。
    • 「圓的方程」中哪一個條件不可缺少？
    • 預測常數穿過零半徑臨界值時，圓方程的圖形怎樣改變。

    板書重點

    • 標準式：圓是與圓心相距固定正距離的點的軌跡。
      (x−h)2+(y−k)2=r2(x-h)^2+(y-k)^2=r^2
    • 存在條件：在一般式中，非退化圓要求 (D²+E²)/4−F>0。

    預期想法

    • 半徑平方須為正；零表示單點，負數表示沒有實點軌跡。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

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