學習・解釋・訂正

直線的交點座標與距離公式

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修第一册(A版).pdf · 2.3 · PDF 75 / 印刷頁 70

先重溫：直線的方程

專題 01

直線的交點座標與距離公式

求直線交點，計算點到直線及平行直線距離，並作幾何檢查。

學完之後，你能解釋

求直線交點，計算點到直線及平行直線距離，並作幾何檢查。
在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

交點

聯立兩條線性方程求解，再代入兩式檢查。

正規化距離

分母是法向量長度；平行線距離公式要求係數先化成一致。

d=|Ax_0+By_0+C|/\sqrt{A^2+B^2}

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：把直線方程乘以100，為甚麼距離不變？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

y=1x+1；傾斜角以 180° 為週期；原點至直線距離=0.7071。斜截式不包括垂直直線。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：檢驗方程作正數及負數倍數後的距離。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求交點的 x 座標。

x+y=4,\quad x-y=2

分母是法向量長度；平行線距離公式要求係數先化成一致。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

使用此中間關係式。

2x=2t+2

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$2x=6\Rightarrow x=3$
兩式相加消去 y；若需要，可相減求 y。

所求值為 3。

檢查與易錯點：兩式相加消去 y；若需要，可相減求 y。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求 P 到直線的垂足。

P=(3,2),\quad y=x

分母是法向量長度；平行線距離公式要求係數先化成一致。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

使用此中間關係式。

H=(h,h),\quad(P-H)\cdot(1,1)=0

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$3+2-2h=0$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$h=2.5$
垂足在直線上，且與 P 的位移垂直於直線。

所求關係或結論如下。

H=(2.5,2.5)

檢查與易錯點：垂足在直線上，且與 P 的位移垂直於直線。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

A=(0,1)、B=(t,3)，P 在 y=0 上。求 AP+PB 的最小值。

t=4

分母是法向量長度；平行線距離公式要求係數先化成一致。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

把 A 對稱至 A′=(0,−1)。

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$AP=A'P$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$AP+PB\ge A'B=\sqrt{4^2+4^2}$
線段 A′B 穿過 y=0，因此等號可成立。

所求值為 5.65685424949。

檢查與易錯點：線段 A′B 穿過 y=0，因此等號可成立。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求交點的 x 座標。

x+y=10,\quad x-y=2

分母是法向量長度；平行線距離公式要求係數先化成一致。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

使用此中間關係式。

2x=2t+2

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$2x=12\Rightarrow x=6$
兩式相加消去 y；若需要，可相減求 y。

所求值為 6。

檢查與易錯點：兩式相加消去 y；若需要，可相減求 y。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求 (0,0) 到 x=t 的距離。

t=6

分母是法向量長度；平行線距離公式要求係數先化成一致。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

使用此中間關係式。

d=|0-t|

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$d=6$
最短線段為水平線段。

所求值為 6。

檢查與易錯點：最短線段為水平線段。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求 P 到直線的距離。

P=(0,0),\quad 3x+4y-35=0

分母是法向量長度；平行線距離公式要求係數先化成一致。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

使用此中間關係式。

d=|C|/5

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$d=35/\sqrt{9+16}=7$
法向量 (3,4) 的長度為5。

所求值為 7。

檢查與易錯點：法向量 (3,4) 的長度為5。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求兩條平行直線的距離。

3x+4y=0,\quad 6x+8y=80

分母是法向量長度；平行線距離公式要求係數先化成一致。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

使用此中間關係式。

3x+4y=5t

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$d=|40-0|/5=8$
先把第二式除以二，才比較常數。

所求值為 8。

檢查與易錯點：先把第二式除以二，才比較常數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求兩條平行直線的距離。

3x+4y=0,\quad 6x+8y=90

分母是法向量長度；平行線距離公式要求係數先化成一致。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

使用此中間關係式。

3x+4y=5t

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$d=|45-0|/5=9$
先把第二式除以二，才比較常數。

所求值為 9。

檢查與易錯點：先把第二式除以二，才比較常數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求 P 到直線的垂足。

P=(10,2),\quad y=x

分母是法向量長度；平行線距離公式要求係數先化成一致。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

使用此中間關係式。

H=(h,h),\quad(P-H)\cdot(1,1)=0

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$10+2-2h=0$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$h=6$
垂足在直線上，且與 P 的位移垂直於直線。

所求關係或結論如下。

H=(6,6)

檢查與易錯點：垂足在直線上，且與 P 的位移垂直於直線。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求 P 關於 y=x 的對稱點。

P=(11,2)

分母是法向量長度；平行線距離公式要求係數先化成一致。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

使用此中間關係式。

P+P\prime=2H

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$H=(6.5,6.5)$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P'=2H-P=(2,11)$
關於 y=x 對稱會交換兩個座標。

所求關係或結論如下。

P'=(2,11)

檢查與易錯點：關於 y=x 對稱會交換兩個座標。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

A=(0,1)、B=(t,3)，P 在 y=0 上。求 AP+PB 的最小值。

t=12

分母是法向量長度；平行線距離公式要求係數先化成一致。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

把 A 對稱至 A′=(0,−1)。

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$AP=A'P$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$AP+PB\ge A'B=\sqrt{12^2+4^2}$
線段 A′B 穿過 y=0，因此等號可成立。

所求值為 12.6491106407。

檢查與易錯點：線段 A′B 穿過 y=0，因此等號可成立。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求 P 關於 y=x 的對稱點。

P=(13,2)

分母是法向量長度；平行線距離公式要求係數先化成一致。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

使用此中間關係式。

P+P\prime=2H

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$H=(7.5,7.5)$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P'=2H-P=(2,13)$
關於 y=x 對稱會交換兩個座標。

所求關係或結論如下。

P'=(2,13)

檢查與易錯點：關於 y=x 對稱會交換兩個座標。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

A=(0,1)、B=(t,3)，P 在 y=0 上。求 AP+PB 的最小值。

t=14

分母是法向量長度；平行線距離公式要求係數先化成一致。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把幾何條件轉成座標方程。

提示 2

把 A 對稱至 A′=(0,−1)。

完整解答

把幾何條件轉成座標方程。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$AP=A'P$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$AP+PB\ge A'B=\sqrt{14^2+4^2}$
線段 A′B 穿過 y=0，因此等號可成立。

所求值為 14.5602197786。

檢查與易錯點：線段 A′B 穿過 y=0，因此等號可成立。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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教師備課與評核

提問順序

求直線交點，計算點到直線及平行直線距離，並作幾何檢查。
「直線的交點座標與距離公式」中哪一個條件不可缺少？
把直線方程乘以100，為甚麼距離不變？

板書重點

交點：聯立兩條線性方程求解，再代入兩式檢查。
正規化距離：分母是法向量長度；平行線距離公式要求係數先化成一致。
$d=|Ax_0+By_0+C|/\sqrt{A^2+B^2}$

預期想法

未統一平行線係數便相減常數，會得到錯誤距離。

評核清單

1分：選取正確表示法及條件。
1分：建立中間關係式。
1分：完成連貫的計算或證明。
1分：解釋並檢查結論。