Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

集合的概念

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修 第一册(A版).pdf · 1.1 · PDF 9 / 印刷頁 2

專題 01

集合的概念

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握集合的概念。

學完之後，你能解釋

  • 在明確條件下運用集合的概念。
  • 連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
  • 能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

元素資格

集合的元素資格確定，元素互不重複。

x∈Ax\in A

表示法

列舉法列出元素；描述法交代數域及條件。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「集合的概念」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

全集 U={1,…,7}；A={1,2,3}；B={3,4,5}。結果={3}；3屬於結果集合。A: 1,23B: 4,56,7

全集 U={1,…,7}；A={1,2,3}；B={3,4,5}。結果={3}；3屬於結果集合。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

數出不同元素個數。

A={2,3,2,4}A=\{2,3,2,4\}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查元素資格，並只計算不同物件。
提示 2
刪去重複元素。
完整解答

  1. 檢查元素資格，並只計算不同物件。

  2. 計算或化簡此關係式。

    A={2,3,4};∣A∣=3A=\{2,3,4\};\quad |A|=3

  3. 次序與重複書寫不改變集合。

所求值為 3。

檢查與易錯點：次序與重複書寫不改變集合。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

數出符合條件的整數個數。

−2<x≤4,x∈Z-2<x\le4,\quad x\in\mathbb Z
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查元素資格，並只計算不同物件。
提示 2
第一個整數是 -1。
完整解答

  1. 檢查元素資格，並只計算不同物件。

  2. 計算或化簡此關係式。

    4−(−1)+1=64-(-1)+1=6

  3. 開端點不包括，閉端點包括。

所求值為 6。

檢查與易錯點：開端點不包括，閉端點包括。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

「有趣的書」是否明確定義集合？修正其描述。

  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查元素資格，並只計算不同物件。
提示 2
兩人使用同一規則會否仍有分歧？
完整解答

  1. 檢查元素資格，並只計算不同物件。

  2. 不同讀者可能對元素資格有分歧。固定書目與出版年份後，元素資格才能明確判定。

  3. 集合元素資格須確定，不能只是個人喜好。

否；可改用某固定年份出版的書等客觀準則。

檢查與易錯點：集合元素資格須確定，不能只是個人喜好。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

數出不同元素個數。

A={3,4,3,5}A=\{3,4,3,5\}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查元素資格，並只計算不同物件。
提示 2
刪去重複元素。
完整解答

  1. 檢查元素資格，並只計算不同物件。

  2. 計算或化簡此關係式。

    A={3,4,5};∣A∣=3A=\{3,4,5\};\quad |A|=3

  3. 次序與重複書寫不改變集合。

所求值為 3。

檢查與易錯點：次序與重複書寫不改變集合。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

數出符合條件的整數個數。

−3<x≤5,x∈Z-3<x\le5,\quad x\in\mathbb Z
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查元素資格，並只計算不同物件。
提示 2
第一個整數是 -2。
完整解答

  1. 檢查元素資格，並只計算不同物件。

  2. 計算或化簡此關係式。

    5−(−2)+1=85-(-2)+1=8

  3. 開端點不包括，閉端點包括。

所求值為 8。

檢查與易錯點：開端點不包括，閉端點包括。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

寫出實數解集。

(x−3)2=0(x-3)^2=0
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查元素資格，並只計算不同物件。
提示 2
平方為零，底數為零。
完整解答

  1. 檢查元素資格，並只計算不同物件。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x=3;A={3}x=3;\quad A=\{3\}

  3. 根的重數與根集的元素個數不同。

集合為 {3}。

檢查與易錯點：根的重數與根集的元素個數不同。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

兩集合是否相等？說明理由。

A={3,4}, B={4,3,3}A=\{3,4\},\ B=\{4,3,3\}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查元素資格，並只計算不同物件。
提示 2
比較元素資格，不比較位置。
完整解答

  1. 檢查元素資格，並只計算不同物件。

  2. 計算或化簡此關係式。

    A⊆B,B⊆AA\subseteq B,\quad B\subseteq A

  3. 任一集合的每個元素均出現在另一集合中。

相等，元素完全相同。

檢查與易錯點：任一集合的每個元素均出現在另一集合中。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

此集合有多少個元素？

A={∅,{0}}A=\{\varnothing,\{0\}\}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查元素資格，並只計算不同物件。
提示 2
外層括號內兩個物件不同。
完整解答

  1. 檢查元素資格，並只計算不同物件。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ∣∅∣=0,∣{0}∣=1,∣A∣=2|\varnothing|=0,\quad |\{0\}|=1,\quad |A|=2

  3. 空集可以是另一集合的元素。

所求值為 2。

檢查與易錯點：空集可以是另一集合的元素。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

用描述法表示集合。

A={3,4,5,6}A=\{3,4,5,6\}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查元素資格，並只計算不同物件。
提示 2
同時交代數域及上下界。
完整解答

  1. 檢查元素資格，並只計算不同物件。

  2. 計算或化簡此關係式。

    A={x∈Z:3≤x≤6}A=\{x\in\mathbb Z:3\le x\le6\}

  3. 區間若無整數限制，會包含額外元素。

由 3 至 6 的整數，包括兩端。

檢查與易錯點：區間若無整數限制，會包含額外元素。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

此實數解集有多少個元素？

A={x∈R:x2+1=0}A=\{x\in\mathbb R:x^2+1=0\}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查有沒有實數能符合條件。
提示 2
實數平方不會為負。
完整解答

  1. 檢查有沒有實數能符合條件。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x2+1≥1>0;A=∅x^2+1\ge1>0;\quad A=\varnothing

  3. 空集與包含零的單元素集不同。

所求值為 0。

檢查與易錯點：空集與包含零的單元素集不同。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

數出不同元素個數。

A={4,5,4,6}A=\{4,5,4,6\}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查元素資格，並只計算不同物件。
提示 2
刪去重複元素。
完整解答

  1. 檢查元素資格，並只計算不同物件。

  2. 計算或化簡此關係式。

    A={4,5,6};∣A∣=3A=\{4,5,6\};\quad |A|=3

  3. 次序與重複書寫不改變集合。

所求值為 3。

檢查與易錯點：次序與重複書寫不改變集合。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

數出符合條件的整數個數。

−4<x≤6,x∈Z-4<x\le6,\quad x\in\mathbb Z
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查元素資格，並只計算不同物件。
提示 2
第一個整數是 -3。
完整解答

  1. 檢查元素資格，並只計算不同物件。

  2. 計算或化簡此關係式。

    6−(−3)+1=106-(-3)+1=10

  3. 開端點不包括，閉端點包括。

所求值為 10。

檢查與易錯點：開端點不包括，閉端點包括。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

寫出實數解集。

(x−4)2=0(x-4)^2=0
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
檢查元素資格，並只計算不同物件。
提示 2
平方為零，底數為零。
完整解答

  1. 檢查元素資格，並只計算不同物件。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x=4;A={4}x=4;\quad A=\{4\}

  3. 根的重數與根集的元素個數不同。

集合為 {4}。

檢查與易錯點：根的重數與根集的元素個數不同。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    教師備課與評核

    提問順序

    • 使用「集合的概念」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
    • 哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
    • 改變一項假設後，原結論還成立嗎？

    板書重點

    • 在明確條件下運用集合的概念。
    • 元素資格：集合的元素資格確定，元素互不重複。
      x∈Ax\in A
    • 表示法：列舉法列出元素；描述法交代數域及條件。
    • 總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

    預期想法

    • 預期理由：集合的元素資格確定，元素互不重複。
    • 預期理由：列舉法列出元素；描述法交代數域及條件。
    • 預期修正：重複書寫不增加元素。

    評核清單

    • 1：辨識已知條件及所求。
    • 1：選取合適定義、表示或方法。
    • 1：推理連貫且正確。
    • 1：檢驗條件並解釋結果。

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