Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

拋物線

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修 第一册(A版).pdf · 3.3 · PDF 135 / 印刷頁 130

先重溫：雙曲線

專題 01

拋物線

連結焦點、準線及頂點，並在直線與拋物線相交時保留條件。

學完之後，你能解釋

  • 連結焦點、準線及頂點，並在直線與拋物線相交時保留條件。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

焦點準線

y²=4ax 的焦點為 (a,0)，準線為 x=−a。

非退化條件

a 須非零；拋物線有頂點，沒有對稱中心。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：改變 a 的正負會怎樣改變 y²=4ax？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

拋物線 y²=4a(x−b)，a=2≠0；頂點=(1,0)，焦點=(3,0)，沒有對稱中心。

拋物線 y²=4a(x−b)，a=2≠0；頂點=(1,0)，焦點=(3,0)，沒有對稱中心。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：平移一條拋物線，區分其頂點與不存在的對稱中心。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求焦點的 x 座標。

y2=8xy^2=8x
  • a 須非零；拋物線有頂點，沒有對稱中心。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
4a=4t4a=4t
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    a=2⇒F=(2,0)a=2\Rightarrow F=(2,0)

  3. 先把係數對應為4a，再讀取焦點參數。

所求值為 2。

檢查與易錯點：先把係數對應為4a，再讀取焦點參數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求垂直於對稱軸的焦弦長。

y2=12xy^2=12x
  • a 須非零；拋物線有頂點，沒有對稱中心。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
x=a⇒y2=4a2x=a\Rightarrow y^2=4a^2
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    y=±2(3)⇒L=12y=\pm2(3)\Rightarrow L=12

  3. 正焦弦長為4|a|。

所求值為 12。

檢查與易錯點：正焦弦長為4|a|。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

求使公共點恰有一個的所有 k。

y2=16x,y=kx+8y^2=16x, y=kx+8
  • a 須非零；拋物線有頂點，沒有對稱中心。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用判別式前，先獨立處理 k=0。
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    k=0⇒y=8,x=4k=0 ⇒ y=8, x=4

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    k≠0:Δ=256(1−2k)k≠0: \Delta=256(1-2k)

  4. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Δ=0⇒k=1/2\Delta=0 ⇒ k=1/2

  5. 水平線情況為橫截；另一情況才是相切。

所求關係或結論如下。

k=0ork=1/2k=0\quad\text{or}\quad k=1/2

檢查與易錯點：水平線情況為橫截；另一情況才是相切。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求焦點的 x 座標。

y2=20xy^2=20x
  • a 須非零；拋物線有頂點，沒有對稱中心。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
4a=4t4a=4t
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    a=5⇒F=(5,0)a=5\Rightarrow F=(5,0)

  3. 先把係數對應為4a，再讀取焦點參數。

所求值為 5。

檢查與易錯點：先把係數對應為4a，再讀取焦點參數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求準線的 x 座標。

y2=24xy^2=24x
  • a 須非零；拋物線有頂點，沒有對稱中心。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
directrix:x=−a\text{directrix}:x=-a
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=−6x=-6

  3. 焦點及準線位於頂點兩側。

所求值為 -6。

檢查與易錯點：焦點及準線位於頂點兩側。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求頂點為 O、焦點為 (0,−t) 的拋物線。

t=7t=7
  • a 須非零；拋物線有頂點，沒有對稱中心。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
x2=4ay,a=−tx^2=4ay,\quad a=-t
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x2=4(−7)yx^2=4(-7)y

  3. 焦點在頂點下方，拋物線向下開口。

所求關係或結論如下。

x2=−28yx^2=-28y

檢查與易錯點：焦點在頂點下方，拋物線向下開口。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

在 y²=4tx 上，P 的 x 座標為2t。求 PF。

t=8t=8
  • a 須非零；拋物線有頂點，沒有對稱中心。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
PF=dist⁡(P,x=−t)PF=\operatorname{dist}(P,x=-t)
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    PF=∣16+8∣=24PF=|16+8|=24

  3. 利用到焦點及準線距離相等，無須求 y。

所求值為 24。

檢查與易錯點：利用到焦點及準線距離相等，無須求 y。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

在 y²=4tx 上，P 的 x 座標為2t。求 PF。

t=9t=9
  • a 須非零；拋物線有頂點，沒有對稱中心。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
PF=dist⁡(P,x=−t)PF=\operatorname{dist}(P,x=-t)
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    PF=∣18+9∣=27PF=|18+9|=27

  3. 利用到焦點及準線距離相等，無須求 y。

所求值為 27。

檢查與易錯點：利用到焦點及準線距離相等，無須求 y。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求垂直於對稱軸的焦弦長。

y2=40xy^2=40x
  • a 須非零；拋物線有頂點，沒有對稱中心。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
x=a⇒y2=4a2x=a\Rightarrow y^2=4a^2
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    y=±2(10)⇒L=40y=\pm2(10)\Rightarrow L=40

  3. 正焦弦長為4|a|。

所求值為 40。

檢查與易錯點：正焦弦長為4|a|。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求斜率為1且與 y²=4tx 相切的直線。

t=11t=11
  • a 須非零；拋物線有頂點，沒有對稱中心。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
y=x+b⇒x2+(2b−4t)x+b2=0y=x+b\Rightarrow x^2+(2b-4t)x+b^2=0
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Δ=(2b−44)2−4b2=176(11−b)\Delta=(2b-44)^2-4b^2=176(11-b)

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Δ=0⇒b=11\Delta=0\Rightarrow b=11

  4. 二次項係數不為零，因此重根可確定相切。

所求關係或結論如下。

y=x+11y=x+11

檢查與易錯點：二次項係數不為零，因此重根可確定相切。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

求使公共點恰有一個的所有 k。

y2=48x,y=kx+24y^2=48x, y=kx+24
  • a 須非零；拋物線有頂點，沒有對稱中心。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用判別式前，先獨立處理 k=0。
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    k=0⇒y=24,x=12k=0 ⇒ y=24, x=12

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    k≠0:Δ=2304(1−2k)k≠0: \Delta=2304(1-2k)

  4. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Δ=0⇒k=1/2\Delta=0 ⇒ k=1/2

  5. 水平線情況為橫截；另一情況才是相切。

所求關係或結論如下。

k=0ork=1/2k=0\quad\text{or}\quad k=1/2

檢查與易錯點：水平線情況為橫截；另一情況才是相切。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求斜率為1且與 y²=4tx 相切的直線。

t=13t=13
  • a 須非零；拋物線有頂點，沒有對稱中心。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
y=x+b⇒x2+(2b−4t)x+b2=0y=x+b\Rightarrow x^2+(2b-4t)x+b^2=0
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Δ=(2b−52)2−4b2=208(13−b)\Delta=(2b-52)^2-4b^2=208(13-b)

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Δ=0⇒b=13\Delta=0\Rightarrow b=13

  4. 二次項係數不為零，因此重根可確定相切。

所求關係或結論如下。

y=x+13y=x+13

檢查與易錯點：二次項係數不為零，因此重根可確定相切。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

求使公共點恰有一個的所有 k。

y2=56x,y=kx+28y^2=56x, y=kx+28
  • a 須非零；拋物線有頂點，沒有對稱中心。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用判別式前，先獨立處理 k=0。
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    k=0⇒y=28,x=14k=0 ⇒ y=28, x=14

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    k≠0:Δ=3136(1−2k)k≠0: \Delta=3136(1-2k)

  4. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Δ=0⇒k=1/2\Delta=0 ⇒ k=1/2

  5. 水平線情況為橫截；另一情況才是相切。

所求關係或結論如下。

k=0ork=1/2k=0\quad\text{or}\quad k=1/2

檢查與易錯點：水平線情況為橫截；另一情況才是相切。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    教師備課與評核

    提問順序

    • 連結焦點、準線及頂點，並在直線與拋物線相交時保留條件。
    • 「拋物線」中哪一個條件不可缺少？
    • 改變 a 的正負會怎樣改變 y²=4ax？

    板書重點

    • 焦點準線：y²=4ax 的焦點為 (a,0)，準線為 x=−a。
    • 非退化條件：a 須非零；拋物線有頂點，沒有對稱中心。

    預期想法

    • 對 y²=2px，焦點橫座標為 p/2，不是 p。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

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