Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

雙曲線

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修 第一册(A版).pdf · 3.2 · PDF 123 / 印刷頁 118

先重溫：橢圓

專題 01

雙曲線

運用距離差定義、漸近線及分支限制。

學完之後，你能解釋

  • 運用距離差定義、漸近線及分支限制。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

參數

對水平雙曲線，c²=a²+b²，漸近線為 y=±(b/a)x。

分支條件

a、b>0 且 e>1；距離差取絕對值，漸近線不屬於雙曲線。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：直線與雙曲線只有一個交點時，必定相切嗎？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

雙曲線 x²/4−y²/1=1；a,b>0。

雙曲線 x²/4−y²/1=1；a,b>0。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：比較切線與平行於漸近線的直線，解釋消元後方程降次。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求 c²。

x2/4−y2/4=1x^2/4-y^2/4=1
  • a、b>0 且 e>1；距離差取絕對值，漸近線不屬於雙曲線。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
c2=a2+b2c^2=a^2+b^2
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    c2=4+4=8c^2=4+4=8

  3. 雙曲線的焦點參數平方為半軸平方之和。

所求值為 8。

檢查與易錯點：雙曲線的焦點參數平方為半軸平方之和。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求頂點 (±t,0)、焦點 (±(t+2),0) 的水平雙曲線。

t=3t=3
  • a、b>0 且 e>1；距離差取絕對值，漸近線不屬於雙曲線。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
b2=c2−a2b²=c²−a²
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    b2=25−9=16b^2=25-9=16

  3. 雙曲線的 c 大於 a。

所求關係或結論如下。

x2/9−y2/16=1x^2/9-y^2/16=1

檢查與易錯點：雙曲線的 c 大於 a。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

證明只有一個公共點，並說明此線不是切線。

y=x+4,x2−y2=16y=x+4, x^2-y^2=16
  • a、b>0 且 e>1；距離差取絕對值，漸近線不屬於雙曲線。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
代入後二次項會相消。
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    −8x−16=16⇒x=−4,y=0-8x-16=16 ⇒ x=-4, y=0

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    tangent at P:x=−4\text{tangent at }P:x=-4

  4. 此線平行於漸近線；消元降次亦可導致一個交點。

所求關係或結論如下。

P=(−4,0)P=(-4,0)

檢查與易錯點：此線平行於漸近線；消元降次亦可導致一個交點。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求 c²。

x2/25−y2/4=1x^2/25-y^2/4=1
  • a、b>0 且 e>1；距離差取絕對值，漸近線不屬於雙曲線。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
c2=a2+b2c^2=a^2+b^2
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    c2=25+4=29c^2=25+4=29

  3. 雙曲線的焦點參數平方為半軸平方之和。

所求值為 29。

檢查與易錯點：雙曲線的焦點參數平方為半軸平方之和。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求實軸長。

x2/36−y2/4=1x^2/36-y^2/4=1
  • a、b>0 且 e>1；距離差取絕對值，漸近線不屬於雙曲線。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
transverse axis=2a\text{transverse axis}=2a
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    2a=122a=12

  3. 正的平方項指定實軸方向。

所求值為 12。

檢查與易錯點：正的平方項指定實軸方向。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求正斜率漸近線的斜率。

x2/49−y2/4=1x^2/49-y^2/4=1
  • a、b>0 且 e>1；距離差取絕對值，漸近線不屬於雙曲線。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
x2/a2−y2/b2=0x^2/a^2-y^2/b^2=0
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    y=±(2/7)xy=\pm(2/7)x

  3. 漸近線由齊次二次部分得到。

所求值為 0.285714285714。

檢查與易錯點：漸近線由齊次二次部分得到。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求離心率。

a=8,b=2a=8,\quad b=2
  • a、b>0 且 e>1；距離差取絕對值，漸近線不屬於雙曲線。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
e=c/ae=c/a
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    e=68/8e=\sqrt{68}/8

  3. 計算結果必須大於一。

所求值為 1.0307764064。

檢查與易錯點：計算結果必須大於一。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求離心率。

a=9,b=2a=9,\quad b=2
  • a、b>0 且 e>1；距離差取絕對值，漸近線不屬於雙曲線。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
e=c/ae=c/a
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    e=85/9e=\sqrt{85}/9

  3. 計算結果必須大於一。

所求值為 1.02439382859。

檢查與易錯點：計算結果必須大於一。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求頂點 (±t,0)、焦點 (±(t+2),0) 的水平雙曲線。

t=10t=10
  • a、b>0 且 e>1；距離差取絕對值，漸近線不屬於雙曲線。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
b2=c2−a2b²=c²−a²
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    b2=144−100=44b^2=144-100=44

  3. 雙曲線的 c 大於 a。

所求關係或結論如下。

x2/100−y2/44=1x^2/100-y^2/44=1

檢查與易錯點：雙曲線的 c 大於 a。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求與 x=0 的交點。

x2/121−y2/4=1x^2/121-y^2/4=1
  • a、b>0 且 e>1；距離差取絕對值，漸近線不屬於雙曲線。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
−y2/4=1-y^2/4=1
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    y2=−4y^2=-4

  3. 實數平方不能為負；共軛軸所在直線不與此雙曲線相交。

所求關係或結論如下。

∅\varnothing

檢查與易錯點：實數平方不能為負；共軛軸所在直線不與此雙曲線相交。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

證明只有一個公共點，並說明此線不是切線。

y=x+12,x2−y2=144y=x+12, x^2-y^2=144
  • a、b>0 且 e>1；距離差取絕對值，漸近線不屬於雙曲線。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
代入後二次項會相消。
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    −24x−144=144⇒x=−12,y=0-24x-144=144 ⇒ x=-12, y=0

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    tangent at P:x=−12\text{tangent at }P:x=-12

  4. 此線平行於漸近線；消元降次亦可導致一個交點。

所求關係或結論如下。

P=(−12,0)P=(-12,0)

檢查與易錯點：此線平行於漸近線；消元降次亦可導致一個交點。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求與 x=0 的交點。

x2/169−y2/4=1x^2/169-y^2/4=1
  • a、b>0 且 e>1；距離差取絕對值，漸近線不屬於雙曲線。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
−y2/4=1-y^2/4=1
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    y2=−4y^2=-4

  3. 實數平方不能為負；共軛軸所在直線不與此雙曲線相交。

所求關係或結論如下。

∅\varnothing

檢查與易錯點：實數平方不能為負；共軛軸所在直線不與此雙曲線相交。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

證明只有一個公共點，並說明此線不是切線。

y=x+14,x2−y2=196y=x+14, x^2-y^2=196
  • a、b>0 且 e>1；距離差取絕對值，漸近線不屬於雙曲線。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
代入後二次項會相消。
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    −28x−196=196⇒x=−14,y=0-28x-196=196 ⇒ x=-14, y=0

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    tangent at P:x=−14\text{tangent at }P:x=-14

  4. 此線平行於漸近線；消元降次亦可導致一個交點。

所求關係或結論如下。

P=(−14,0)P=(-14,0)

檢查與易錯點：此線平行於漸近線；消元降次亦可導致一個交點。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    教師備課與評核

    提問順序

    • 運用距離差定義、漸近線及分支限制。
    • 「雙曲線」中哪一個條件不可缺少？
    • 直線與雙曲線只有一個交點時，必定相切嗎？

    板書重點

    • 參數：對水平雙曲線，c²=a²+b²，漸近線為 y=±(b/a)x。
    • 分支條件：a、b>0 且 e>1；距離差取絕對值，漸近線不屬於雙曲線。

    預期想法

    • 使用 c²=a²−b² 是把雙曲線與橢圓混淆。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

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