Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

橢圓

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修 第一册(A版).pdf · 3.1 · PDF 110 / 印刷頁 105

先重溫：圓的方程

專題 01

橢圓

運用橢圓的焦點定義、標準方程及幾何性質。

學完之後，你能解釋

  • 運用橢圓的焦點定義、標準方程及幾何性質。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

焦距和

到兩焦點的距離和為2a；c²=a²−b²。

x2/a2+y2/b2=1x^2/a^2+y^2/b^2=1

軸的條件

水平長軸時 a>b>0；較大的分母指定長軸方向。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：預測 b 接近 a 或零時，橢圓形狀及離心率怎樣變化。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

半軸為 2、1 的橢圓；a=b 時為圓；焦距參數=1.7321。

半軸為 2、1 的橢圓；a=b 時為圓；焦距參數=1.7321。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：比較極限圖形與非退化橢圓的條件。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求長軸長。

x2/16+y2/4=1x^2/16+y^2/4=1
  • 水平長軸時 a>b>0；較大的分母指定長軸方向。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
major axis=2a\text{major axis}=2a
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    2a=2(4)=82a=2(4)=8

  3. 軸長是對應半軸長的兩倍。

所求值為 8。

檢查與易錯點：軸長是對應半軸長的兩倍。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求 a=t+1、c=t 的水平長軸橢圓。

t=3t=3
  • 水平長軸時 a>b>0；較大的分母指定長軸方向。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
b2=a2−c2b²=a²−c²
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    b2=16−9=7b^2=16-9=7

  3. 正的平方差保證為非退化橢圓。

所求關係或結論如下。

x2/16+y2/7=1x^2/16+y^2/7=1

檢查與易錯點：正的平方差保證為非退化橢圓。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

求此橢圓上 3x+4y 的最大值。

x2/36+y2/16=1x^2/36+y^2/16=1
  • 水平長軸時 a>b>0；較大的分母指定長軸方向。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
x=acosu,y=bsinux=a cos u, y=b sin u
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    3x+4y=18cos⁡u+16sin⁡u3x+4y=18\cos u+16\sin u

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    max⁡=580\max=\sqrt{580}

  4. 完整三角參數範圍可達到振幅最大值。

所求值為 24.0831891576。

檢查與易錯點：完整三角參數範圍可達到振幅最大值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求長軸長。

x2/49+y2/25=1x^2/49+y^2/25=1
  • 水平長軸時 a>b>0；較大的分母指定長軸方向。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
major axis=2a\text{major axis}=2a
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    2a=2(7)=142a=2(7)=14

  3. 軸長是對應半軸長的兩倍。

所求值為 14。

檢查與易錯點：軸長是對應半軸長的兩倍。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求 c²。

a=8,b=6a=8,\quad b=6
  • 水平長軸時 a>b>0；較大的分母指定長軸方向。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
c2=a2−b2c^2=a^2-b^2
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    c2=64−36=28c^2=64-36=28

  3. 橢圓的 c² 為兩半軸平方之差。

所求值為 28。

檢查與易錯點：橢圓的 c² 為兩半軸平方之差。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求離心率。

x2/81+y2/49=1x^2/81+y^2/49=1
  • 水平長軸時 a>b>0；較大的分母指定長軸方向。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
e=c/ae=c/a
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    c=32c=\sqrt{32}

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    e=32/9e=\sqrt{32}/9

  4. 非圓且非退化的橢圓有 0<e<1。

所求值為 0.628539361055。

檢查與易錯點：非圓且非退化的橢圓有 0<e<1。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

P 在橢圓上，PF1=t。求 PF2。

a=10,PF1=8a=10,\quad PF_1=8
  • 水平長軸時 a>b>0；較大的分母指定長軸方向。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
PF1+PF2=2aPF_1+PF_2=2a
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    PF2=20−8=12PF_2=20-8=12

  3. 距離和定義可避免求點的座標。

所求值為 12。

檢查與易錯點：距離和定義可避免求點的座標。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

P 在橢圓上，PF1=t。求 PF2。

a=11,PF1=9a=11,\quad PF_1=9
  • 水平長軸時 a>b>0；較大的分母指定長軸方向。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
PF1+PF2=2aPF_1+PF_2=2a
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    PF2=22−9=13PF_2=22-9=13

  3. 距離和定義可避免求點的座標。

所求值為 13。

檢查與易錯點：距離和定義可避免求點的座標。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求 a=t+1、c=t 的水平長軸橢圓。

t=10t=10
  • 水平長軸時 a>b>0；較大的分母指定長軸方向。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
b2=a2−c2b²=a²−c²
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    b2=121−100=21b^2=121-100=21

  3. 正的平方差保證為非退化橢圓。

所求關係或結論如下。

x2/121+y2/21=1x^2/121+y^2/21=1

檢查與易錯點：正的平方差保證為非退化橢圓。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求 x=0 截得的弦長。

x2/169+y2/121=1x^2/169+y^2/121=1
  • 水平長軸時 a>b>0；較大的分母指定長軸方向。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
y2/b2=1y^2/b^2=1
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    y=±11⇒L=22y=\pm11\Rightarrow L=22

  3. 沿 y 軸通過圓心的弦為短軸。

所求值為 22。

檢查與易錯點：沿 y 軸通過圓心的弦為短軸。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

求此橢圓上 3x+4y 的最大值。

x2/196+y2/144=1x^2/196+y^2/144=1
  • 水平長軸時 a>b>0；較大的分母指定長軸方向。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
x=acosu,y=bsinux=a cos u, y=b sin u
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    3x+4y=42cos⁡u+48sin⁡u3x+4y=42\cos u+48\sin u

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    max⁡=4068\max=\sqrt{4068}

  4. 完整三角參數範圍可達到振幅最大值。

所求值為 63.7808748764。

檢查與易錯點：完整三角參數範圍可達到振幅最大值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求 x=0 截得的弦長。

x2/225+y2/169=1x^2/225+y^2/169=1
  • 水平長軸時 a>b>0；較大的分母指定長軸方向。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
y2/b2=1y^2/b^2=1
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    y=±13⇒L=26y=\pm13\Rightarrow L=26

  3. 沿 y 軸通過圓心的弦為短軸。

所求值為 26。

檢查與易錯點：沿 y 軸通過圓心的弦為短軸。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

求此橢圓上 3x+4y 的最大值。

x2/256+y2/196=1x^2/256+y^2/196=1
  • 水平長軸時 a>b>0；較大的分母指定長軸方向。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
x=acosu,y=bsinux=a cos u, y=b sin u
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    3x+4y=48cos⁡u+56sin⁡u3x+4y=48\cos u+56\sin u

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    max⁡=5440\max=\sqrt{5440}

  4. 完整三角參數範圍可達到振幅最大值。

所求值為 73.7563556583。

檢查與易錯點：完整三角參數範圍可達到振幅最大值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 運用橢圓的焦點定義、標準方程及幾何性質。
    • 「橢圓」中哪一個條件不可缺少？
    • 預測 b 接近 a 或零時，橢圓形狀及離心率怎樣變化。

    板書重點

    • 焦距和：到兩焦點的距離和為2a；c²=a²−b²。
      x2/a2+y2/b2=1x^2/a^2+y^2/b^2=1
    • 軸的條件：水平長軸時 a>b>0；較大的分母指定長軸方向。

    預期想法

    • x² 下的分母不一定是長半軸平方。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

    教材與來源說明 ↗