Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

平面向量的應用

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修 第二册(A版).pdf · 6.4 · PDF 45 / 印刷頁 38

先重溫：平面向量基本定理及坐標表示

專題 01

平面向量的應用

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握平面向量的應用。

學完之後，你能解釋

  • 連結平面向量的應用的幾何與代數表示。
  • 連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
  • 能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

幾何

向量可導出度量關係、正餘弦定理及三角形中心。

物理量

力以向量相加；功用數量積計算。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「平面向量的應用」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

v=(2,1)；模長=2.2361；v·(2,1)=5。

v=(2,1)；模長=2.2361；v·(2,1)=5。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

用餘弦定理求第三邊。

a=2,b=2,C=60∘a=2,\quad b=2,\quad C=60^{\circ}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。
提示 2
已知角是 a、b 的夾角。
完整解答

  1. 把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。

  2. 計算或化簡此關係式。

    c2=4+4−2(4)cos⁡60∘=4c^2=4+4-2(4)\cos60^{\circ}=4

  3. 邊長取正平方根。

所求值為 2。

檢查與易錯點：邊長取正平方根。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

用正弦定理求 b。

a=2,A=30∘,B=90∘a=2,\quad A=30^{\circ},\quad B=90^{\circ}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。
提示 2
每邊配對其對角。
完整解答

  1. 把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。

  2. 計算或化簡此關係式。

    b=asin⁡Bsin⁡A=211/2=4b=a\frac{\sin B}{\sin A}=2\frac1{1/2}=4

  3. 直角所對邊最長。

所求值為 4。

檢查與易錯點：直角所對邊最長。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

解釋邊邊角問題使用正弦定理為何可能得兩個三角形。

sin⁡B=s,0<s<1\sin B=s,\quad0<s<1
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。
提示 2
計算機反正弦只給主值角。
完整解答

  1. 把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。

  2. 計算或化簡此關係式。

    sin⁡B=sin⁡(180∘−B)\sin B=\sin(180^{\circ}-B)

  3. 若補角候選導致角和不可能，才把它刪除。

B 與 180°−B 正弦相同；兩者均須檢查餘角及邊長條件。

檢查與易錯點：若補角候選導致角和不可能，才把它刪除。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

用餘弦定理求第三邊。

a=3,b=3,C=60∘a=3,\quad b=3,\quad C=60^{\circ}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。
提示 2
已知角是 a、b 的夾角。
完整解答

  1. 把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。

  2. 計算或化簡此關係式。

    c2=9+9−2(9)cos⁡60∘=9c^2=9+9-2(9)\cos60^{\circ}=9

  3. 邊長取正平方根。

所求值為 3。

檢查與易錯點：邊長取正平方根。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

用正弦定理求 b。

a=3,A=30∘,B=90∘a=3,\quad A=30^{\circ},\quad B=90^{\circ}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。
提示 2
每邊配對其對角。
完整解答

  1. 把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。

  2. 計算或化簡此關係式。

    b=asin⁡Bsin⁡A=311/2=6b=a\frac{\sin B}{\sin A}=3\frac1{1/2}=6

  3. 直角所對邊最長。

所求值為 6。

檢查與易錯點：直角所對邊最長。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求三角形面積。

a=6,b=3,C=30∘a=6,\quad b=3,\quad C=30^{\circ}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。
提示 2
用兩邊乘積及夾角正弦的一半。
完整解答

  1. 把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。

  2. 計算或化簡此關係式。

    S=12absin⁡C=12(6)(3)(1/2)=4.5S=\frac12ab\sin C=\frac12(6)(3)(1/2)=4.5

  3. 須使用兩邊夾角，不可任用其他角。

所求值為 4.5。

檢查與易錯點：須使用兩邊夾角，不可任用其他角。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求重心的 x 坐標。

A=(0,0),B=(9,0),C=(0,3)A=(0,0),\quad B=(9,0),\quad C=(0,3)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。
提示 2
三個頂點的位置向量取平均。
完整解答

  1. 把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。

  2. 計算或化簡此關係式。

    G=(A+B+C)/3=(3,1)G=(A+B+C)/3=(3,1)

  3. 重心在由頂點起的中線三分之二處。

所求值為 3。

檢查與易錯點：重心在由頂點起的中線三分之二處。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求恆力所作的功，單位焦耳。

F=(3,2) N,s=(3,1) m\mathbf F=(3,2)\text{ N},\quad\mathbf s=(3,1)\text{ m}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。
提示 2
功為位移方向的力分量乘路程。
完整解答

  1. 把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。

  2. 計算或化簡此關係式。

    W=F⋅s=3(3)+2=11W=\mathbf F\cdot\mathbf s=3(3)+2=11

  3. 數量積自動包含夾角影響。

所求值為 11。

檢查與易錯點：數量積自動包含夾角影響。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求合力的模。

F1=(9,0),F2=(0,12)\mathbf F_1=(9,0),\quad\mathbf F_2=(0,12)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。
提示 2
先把力作向量相加，再求模。
完整解答

  1. 把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ∣F1+F2∣=81+144=15|\mathbf F_1+\mathbf F_2|=\sqrt{81+144}=15

  3. 只有同方向的力才可直接相加大小。

所求值為 15。

檢查與易錯點：只有同方向的力才可直接相加大小。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

邊長 1、1、3 能否構成可使用餘弦定理的三角形？說明。

  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
套公式前先檢查幾何可行性。
提示 2
兩短邊之和須大於最長邊。
完整解答

  1. 套公式前先檢查幾何可行性。

  2. 計算或化簡此關係式。

    cos⁡C=1+1−92=−7/2∉[−1,1]\cos C=\frac{1+1-9}{2}=-7/2\notin[-1,1]

  3. 不可能的餘弦反映邊長資料矛盾，並非有效角。

不能：1+1<3 違反三角形不等式。

檢查與易錯點：不可能的餘弦反映邊長資料矛盾，並非有效角。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

用餘弦定理求第三邊。

a=4,b=4,C=60∘a=4,\quad b=4,\quad C=60^{\circ}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。
提示 2
已知角是 a、b 的夾角。
完整解答

  1. 把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。

  2. 計算或化簡此關係式。

    c2=16+16−2(16)cos⁡60∘=16c^2=16+16-2(16)\cos60^{\circ}=16

  3. 邊長取正平方根。

所求值為 4。

檢查與易錯點：邊長取正平方根。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

用正弦定理求 b。

a=4,A=30∘,B=90∘a=4,\quad A=30^{\circ},\quad B=90^{\circ}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。
提示 2
每邊配對其對角。
完整解答

  1. 把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。

  2. 計算或化簡此關係式。

    b=asin⁡Bsin⁡A=411/2=8b=a\frac{\sin B}{\sin A}=4\frac1{1/2}=8

  3. 直角所對邊最長。

所求值為 8。

檢查與易錯點：直角所對邊最長。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

求三角形面積。

a=8,b=3,C=30∘a=8,\quad b=3,\quad C=30^{\circ}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。
提示 2
用兩邊乘積及夾角正弦的一半。
完整解答

  1. 把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。

  2. 計算或化簡此關係式。

    S=12absin⁡C=12(8)(3)(1/2)=6S=\frac12ab\sin C=\frac12(8)(3)(1/2)=6

  3. 須使用兩邊夾角，不可任用其他角。

所求值為 6。

檢查與易錯點：須使用兩邊夾角，不可任用其他角。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 使用「平面向量的應用」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
    • 哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
    • 改變一項假設後，原結論還成立嗎？

    板書重點

    • 連結平面向量的應用的幾何與代數表示。
    • 幾何：向量可導出度量關係、正餘弦定理及三角形中心。
    • 物理量：力以向量相加；功用數量積計算。
    • 總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

    預期想法

    • 預期理由：向量可導出度量關係、正餘弦定理及三角形中心。
    • 預期理由：力以向量相加；功用數量積計算。
    • 預期修正：邊邊角三角形可能有兩個有效構形。

    評核清單

    • 1：辨識已知條件及所求。
    • 1：選取合適定義、表示或方法。
    • 1：推理連貫且正確。
    • 1：檢驗條件並解釋結果。

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