學習・解釋・訂正

平面向量基本定理及坐標表示

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修第二册(A版).pdf · 6.3 · PDF 32 / 印刷頁 25

先重溫：平面向量的運算

專題 01

平面向量基本定理及坐標表示

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握平面向量基本定理及坐標表示。

學完之後，你能解釋

連結平面向量基本定理及坐標表示的幾何與代數表示。
連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

基底

兩個不平行向量可唯一表示任意平面向量。

坐標判準

平行用倍數關係；非零向量垂直用數量積零。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「平面向量基本定理及坐標表示」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

v=(2,1)；模長=2.2361；v·(2,1)=5。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求基底表示中 e₁ 的係數。

\mathbf e_1=(1,0),\quad\mathbf e_2=(1,1),\quad\mathbf a=(5,3)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。

提示 2

先看第二坐標。

完整解答

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。
計算或化簡此關係式。
$\mathbf a=\lambda(1,0)+\mu(1,1);\quad\mu=3,\ \lambda=2$
兩基向量不平行，因此係數唯一。

所求值為 2。

檢查與易錯點：兩基向量不平行，因此係數唯一。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求中點的 x 坐標。

A=(2,1),\quad B=(6,5)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。

提示 2

對應端點坐標取平均。

完整解答

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。
計算或化簡此關係式。
$M=\frac{A+B}{2}=(4,3)$
中點為係數和等於一的仿射組合。

所求值為 4。

檢查與易錯點：中點為係數和等於一的仿射組合。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

求兩點距離。

A=(2,2),\quad B=(5,6)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。

提示 2

先減坐標，再求模。

完整解答

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。
計算或化簡此關係式。
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$
兩點同時平移不改變距離。

所求值為 5。

檢查與易錯點：兩點同時平移不改變距離。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求基底表示中 e₁ 的係數。

\mathbf e_1=(1,0),\quad\mathbf e_2=(1,1),\quad\mathbf a=(6,3)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。

提示 2

先看第二坐標。

完整解答

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。
計算或化簡此關係式。
$\mathbf a=\lambda(1,0)+\mu(1,1);\quad\mu=3,\ \lambda=3$
兩基向量不平行，因此係數唯一。

所求值為 3。

檢查與易錯點：兩基向量不平行，因此係數唯一。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求中點的 x 坐標。

A=(3,1),\quad B=(7,5)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。

提示 2

對應端點坐標取平均。

完整解答

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。
計算或化簡此關係式。
$M=\frac{A+B}{2}=(5,3)$
中點為係數和等於一的仿射組合。

所求值為 5。

檢查與易錯點：中點為係數和等於一的仿射組合。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求 m 使兩向量平行。

\mathbf a=(2,3),\quad\mathbf b=(6,m)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。

提示 2

用第一坐標求倍數。

完整解答

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。
計算或化簡此關係式。
$\mathbf b=3\mathbf a\Rightarrow m=9$
第二坐標須使用同一倍數。

所求值為 9。

檢查與易錯點：第二坐標須使用同一倍數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求 m 使向量垂直。

\mathbf a=(1,3),\quad\mathbf b=(m,2)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。

提示 2

令數量積等於零。

完整解答

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。
計算或化簡此關係式。
$m+2(3)=0\Rightarrow m=-6$
所給坐標保證兩向量非零。

所求值為 -6。

檢查與易錯點：所給坐標保證兩向量非零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

解釋平行向量為何不能作平面的基底。

\mathbf e_2=2\mathbf e_1

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。

提示 2

代入相依關係。

完整解答

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。
計算或化簡此關係式。
$a\mathbf e_1+b\mathbf e_2=(a+2b)\mathbf e_1$
它們不能表示該線以外的向量。

所有線性組合仍在同一直線上。

檢查與易錯點：它們不能表示該線以外的向量。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求在 x 正向的帶符號標量投影。

\mathbf a=(-3,3)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。

提示 2

與目標方向的單位向量作數量積。

完整解答

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。
計算或化簡此關係式。
$\mathbf a\cdot(1,0)=-3$
帶符號投影可為負，長度則非負。

所求值為 -3。

檢查與易錯點：帶符號投影可為負，長度則非負。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求兩點距離。

A=(3,2),\quad B=(6,6)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。

提示 2

先減坐標，再求模。

完整解答

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。
計算或化簡此關係式。
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$
兩點同時平移不改變距離。

所求值為 5。

檢查與易錯點：兩點同時平移不改變距離。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

求基底表示中 e₁ 的係數。

\mathbf e_1=(1,0),\quad\mathbf e_2=(1,1),\quad\mathbf a=(7,3)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。

提示 2

先看第二坐標。

完整解答

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。
計算或化簡此關係式。
$\mathbf a=\lambda(1,0)+\mu(1,1);\quad\mu=3,\ \lambda=4$
兩基向量不平行，因此係數唯一。

所求值為 4。

檢查與易錯點：兩基向量不平行，因此係數唯一。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求中點的 x 坐標。

A=(4,1),\quad B=(8,5)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。

提示 2

對應端點坐標取平均。

完整解答

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。
計算或化簡此關係式。
$M=\frac{A+B}{2}=(6,3)$
中點為係數和等於一的仿射組合。

所求值為 6。

檢查與易錯點：中點為係數和等於一的仿射組合。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

求 m 使兩向量平行。

\mathbf a=(2,3),\quad\mathbf b=(8,m)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。

提示 2

用第一坐標求倍數。

完整解答

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。
計算或化簡此關係式。
$\mathbf b=4\mathbf a\Rightarrow m=12$
第二坐標須使用同一倍數。

所求值為 12。

檢查與易錯點：第二坐標須使用同一倍數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

使用「平面向量基本定理及坐標表示」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
改變一項假設後，原結論還成立嗎？

板書重點

連結平面向量基本定理及坐標表示的幾何與代數表示。
基底：兩個不平行向量可唯一表示任意平面向量。
坐標判準：平行用倍數關係；非零向量垂直用數量積零。
總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

預期想法

預期理由：兩個不平行向量可唯一表示任意平面向量。
預期理由：平行用倍數關係；非零向量垂直用數量積零。
預期修正：平行的候選基向量不能生成整個平面。

評核清單

1：辨識已知條件及所求。
1：選取合適定義、表示或方法。
1：推理連貫且正確。
1：檢驗條件並解釋結果。