← 高中數學研習室

學習・解釋・訂正

解釋平行向量為何不能作平面的基底。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

返回課節／試卷 ↗

高一必修第二册(A版).pdf · 6.3 · PDF 32 / 印刷頁 25

先重溫：平面向量的運算

專題 01

平面向量基本定理及坐標表示

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握平面向量基本定理及坐標表示。

學完之後，你能解釋

連結平面向量基本定理及坐標表示的幾何與代數表示。
連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 鞏固#獨立練習

解釋平行向量為何不能作平面的基底。

\mathbf e_2=2\mathbf e_1

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。

提示 2

代入相依關係。

完整解答

使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。
計算或化簡此關係式。
$a\mathbf e_1+b\mathbf e_2=(a+2b)\mathbf e_1$
它們不能表示該線以外的向量。

所有線性組合仍在同一直線上。

檢查與易錯點：它們不能表示該線以外的向量。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

提問順序

使用「平面向量基本定理及坐標表示」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
改變一項假設後，原結論還成立嗎？

板書重點

連結平面向量基本定理及坐標表示的幾何與代數表示。
基底：兩個不平行向量可唯一表示任意平面向量。
坐標判準：平行用倍數關係；非零向量垂直用數量積零。
總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

預期想法

預期理由：兩個不平行向量可唯一表示任意平面向量。
預期理由：平行用倍數關係；非零向量垂直用數量積零。
預期修正：平行的候選基向量不能生成整個平面。

評核清單

1：辨識已知條件及所求。
1：選取合適定義、表示或方法。
1：推理連貫且正確。
1：檢驗條件並解釋結果。