求可行區域內 t=x²+y² 的最小值。

01 / 鞏固#獨立練習

3x+2y\ge13,\quad x\le5,\quad2x-2y+3\ge0

官方試卷 · jm01-2023 · II.5(c) · PDF 4

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用 3x+2y≥13。

提示 2

用柯西不等式並檢查等號點。

完整解答

限制距離平方。
$13(x^2+y^2)\ge(3x+2y)^2\ge169\implies t\ge13$
等號要求 (x,y) 與 (3,2) 成比例且 3x+2y=13，所得點符合其餘限制。
$(x,y)=(3,2),\quad x\le5,\quad2x-2y+3=5\ge0$

在 (3,2) 最小值為 13。

檢查與易錯點：最近點可以在邊上，不一定在頂點。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
限制距離平方。
$13(x^2+y^2)\ge(3x+2y)^2\ge169\implies t\ge13$
等號要求 (x,y) 與 (3,2) 成比例且 3x+2y=13，所得點符合其餘限制。
$(x,y)=(3,2),\quad x\le5,\quad2x-2y+3=5\ge0$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2023 JM01