Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

導數在研究函數中的應用

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修 第二册(A版).pdf · 5.3 · PDF 89 / 印刷頁 84

先重溫：導數的運算

專題 01

導數在研究函數中的應用

用導數符號、邊界值及模型，說明極值與最佳化。

學完之後，你能解釋

  • 用導數符號、邊界值及模型，說明極值與最佳化。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

定義關係

用導數符號、邊界值及模型，說明極值與最佳化。

f′>0⇒f increasingf\prime>0\Rightarrow f\text{ increasing}

適用條件

駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：駐點可能不是極值點嗎？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

y=ax²；在 x=t 的切線斜率=2；從 0 至 t 的定積分=0.3333。定積分為有向量，可能為負。

y=ax²；在 x=t 的切線斜率=2；從 0 至 t 的定積分=0.3333。定積分為有向量，可能為負。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：比較 x²、x³ 在零的情況，解釋導數符號變化。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求在所有實數 x 中使函數最小的 x。

f(x)=x2−4x+1f(x)=x^2-4x+1
  • 駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
f′(x)=2x−2tf\prime(x)=2x-2t
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′(x)=0⇒x=2f'(x)=0\Rightarrow x=2

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′′(x)=2>0f''(x)=2>0

  4. 正首項二次函數有唯一全域最小值。

所求值為 2。

檢查與易錯點：正首項二次函數有唯一全域最小值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

矩形周長為4t。求最大面積。

t=3t=3
  • 駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
y=2t−x;A=x(2t−x)y=2t-x;\quad A=x(2t-x)
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    A′=6−2x=0⇒x=3A'=6-2x=0\Rightarrow x=3

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Amax⁡=9A_{\max}=9

  4. 定義域 0<x<2t 包含正方形；邊界面積趨近零。

所求值為 9。

檢查與易錯點：定義域 0<x<2t 包含正方形；邊界面積趨近零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

利潤 P(x)=−x²+2tx−3，0≤x≤t+2。求最大利潤。

t=4t=4
  • 駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
P′(x)=2t−2xP\prime(x)=2t-2x
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=4 lies in the domainx=4\text{ lies in the domain}

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    P(4)=13P(4)=13

  4. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    P′′=−2<0P''=-2<0

  5. 可行頂點給出最佳利潤；此模型不是總收入。

所求值為 13。

檢查與易錯點：可行頂點給出最佳利潤；此模型不是總收入。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求在所有實數 x 中使函數最小的 x。

f(x)=x2−10x+1f(x)=x^2-10x+1
  • 駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
f′(x)=2x−2tf\prime(x)=2x-2t
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′(x)=0⇒x=5f'(x)=0\Rightarrow x=5

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′′(x)=2>0f''(x)=2>0

  4. 正首項二次函數有唯一全域最小值。

所求值為 5。

檢查與易錯點：正首項二次函數有唯一全域最小值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求 f 在 [0,t] 的最大值。

f(x)=x2,t=6f(x)=x^2,\quad t=6
  • 駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
f′(x)=2x≥0f\prime(x)=2x\ge0
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f(0)=0,f(6)=36f(0)=0,\quad f(6)=36

  3. 比較閉區間兩個端點。

所求值為 36。

檢查與易錯點：比較閉區間兩個端點。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求遞增及遞減區間。

f(x)=x2−14xf(x)=x^2-14x
  • 駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
f′(x)=2(x−t)f\prime(x)=2(x-t)
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x<7:f′<0;x>7:f′>0x<7:f'<0;\quad x>7:f'>0

  3. 導數符號由負轉正。

所求關係或結論如下。

(−∞,7):↘;(7,∞):↗(-\infty,7):\searrow;\quad(7,\infty):\nearrow

檢查與易錯點：導數符號由負轉正。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

x=t 是 (x−t)³ 的局部極值點嗎？

t=8t=8
  • 駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
f′(x)=3(x−t)2f\prime(x)=3(x-t)^2
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′(x)>0(x≠8)f\prime(x)>0\quad(x\ne8)

  3. 兩側導數具有相同正負號。

所求關係或結論如下。

stationary inflection; no local extremum\text{stationary inflection; no local extremum}

檢查與易錯點：兩側導數具有相同正負號。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

x=t 是 (x−t)³ 的局部極值點嗎？

t=9t=9
  • 駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
f′(x)=3(x−t)2f\prime(x)=3(x-t)^2
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′(x)>0(x≠9)f\prime(x)>0\quad(x\ne9)

  3. 兩側導數具有相同正負號。

所求關係或結論如下。

stationary inflection; no local extremum\text{stationary inflection; no local extremum}

檢查與易錯點：兩側導數具有相同正負號。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

矩形周長為4t。求最大面積。

t=10t=10
  • 駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
y=2t−x;A=x(2t−x)y=2t-x;\quad A=x(2t-x)
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    A′=20−2x=0⇒x=10A'=20-2x=0\Rightarrow x=10

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Amax⁡=100A_{\max}=100

  4. 定義域 0<x<2t 包含正方形；邊界面積趨近零。

所求值為 100。

檢查與易錯點：定義域 0<x<2t 包含正方形；邊界面積趨近零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

x>0 時，求 x+t²/x 的最小值。

t=11t=11
  • 駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
f′(x)=1−t2/x2f\prime(x)=1-t^2/x^2
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′=0⇒x=11f'=0\Rightarrow x=11

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′′=242/x3>0f''=242/x^3>0

  4. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f(11)=22f(11)=22

  5. 負的駐點解不在正數定義域內。

所求值為 22。

檢查與易錯點：負的駐點解不在正數定義域內。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

利潤 P(x)=−x²+2tx−3，0≤x≤t+2。求最大利潤。

t=12t=12
  • 駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
P′(x)=2t−2xP\prime(x)=2t-2x
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=12 lies in the domainx=12\text{ lies in the domain}

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    P(12)=141P(12)=141

  4. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    P′′=−2<0P''=-2<0

  5. 可行頂點給出最佳利潤；此模型不是總收入。

所求值為 141。

檢查與易錯點：可行頂點給出最佳利潤；此模型不是總收入。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

x>0 時，求 x+t²/x 的最小值。

t=13t=13
  • 駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
f′(x)=1−t2/x2f\prime(x)=1-t^2/x^2
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′=0⇒x=13f'=0\Rightarrow x=13

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′′=338/x3>0f''=338/x^3>0

  4. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f(13)=26f(13)=26

  5. 負的駐點解不在正數定義域內。

所求值為 26。

檢查與易錯點：負的駐點解不在正數定義域內。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

利潤 P(x)=−x²+2tx−3，0≤x≤t+2。求最大利潤。

t=14t=14
  • 駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
P′(x)=2t−2xP\prime(x)=2t-2x
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=14 lies in the domainx=14\text{ lies in the domain}

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    P(14)=193P(14)=193

  4. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    P′′=−2<0P''=-2<0

  5. 可行頂點給出最佳利潤；此模型不是總收入。

所求值為 193。

檢查與易錯點：可行頂點給出最佳利潤；此模型不是總收入。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    教師備課與評核

    提問順序

    • 用導數符號、邊界值及模型，說明極值與最佳化。
    • 「導數在研究函數中的應用」中哪一個條件不可缺少？
    • 駐點可能不是極值點嗎？

    板書重點

    • 定義關係：用導數符號、邊界值及模型，說明極值與最佳化。
      f′>0⇒f increasingf\prime>0\Rightarrow f\text{ increasing}
    • 適用條件：駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。

    預期想法

    • 導數為零本身不表示最大或最小。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

    教材與來源說明 ↗