Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

導數的運算

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修 第二册(A版).pdf · 5.2 · PDF 77 / 印刷頁 72

先重溫：導數的概念及其意義

專題 01

導數的運算

配合基本函數導數，運用冪、乘積、商及鏈式法則。

學完之後，你能解釋

  • 配合基本函數導數，運用冪、乘積、商及鏈式法則。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

定義關係

配合基本函數導數，運用冪、乘積、商及鏈式法則。

(uv)′=u′v+uv′;[f(g)]′=f′(g)g′(uv)\prime=u\prime v+uv\prime;\quad [f(g)]\prime=f\prime(g)g\prime

適用條件

商的分母須非零；實對數的真數須為正，三角函數求導使用弧度。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：複合函數在代入點之前須用哪個法則？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

y=ax²；在 x=t 的切線斜率=2；從 0 至 t 的定積分=0.3333。定積分為有向量，可能為負。

y=ax²；在 x=t 的切線斜率=2；從 0 至 t 的定積分=0.3333。定積分為有向量，可能為負。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：比較正確鏈式法則與漏掉內層導數的計算。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求 f′(1)。

f(x)=x3+2xf(x)=x^3+2x
  • 商的分母須非零；實對數的真數須為正，三角函數求導使用弧度。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
f′(x)=3x2+tf\prime(x)=3x^2+t
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′(1)=3+2=5f'(1)=3+2=5

  3. 逐項求導。

所求值為 5。

檢查與易錯點：逐項求導。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求 f′(0)。

f(x)=e3xf(x)=e^{3x}
  • 商的分母須非零；實對數的真數須為正，三角函數求導使用弧度。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
f′(x)=tetxf\prime(x)=te^{tx}
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′(0)=3e0=3f'(0)=3e^0=3

  3. 自然指數函數求導後仍保留本身。

所求值為 3。

檢查與易錯點：自然指數函數求導後仍保留本身。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

使用弧度，求 f′(0)。

f(x)=sin⁡(4x)+cos⁡xf(x)=\sin(4x)+\cos x
  • 商的分母須非零；實對數的真數須為正，三角函數求導使用弧度。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
f′(x)=tcos⁡(tx)−sin⁡xf\prime(x)=t\cos(tx)-\sin x
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′(0)=4⋅1−0=4f'(0)=4\cdot1-0=4

  3. 常用正弦導數公式必須使用弧度。

所求值為 4。

檢查與易錯點：常用正弦導數公式必須使用弧度。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求 f′(1)。

f(x)=x3+5xf(x)=x^3+5x
  • 商的分母須非零；實對數的真數須為正，三角函數求導使用弧度。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
f′(x)=3x2+tf\prime(x)=3x^2+t
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′(1)=3+5=8f'(1)=3+5=8

  3. 逐項求導。

所求值為 8。

檢查與易錯點：逐項求導。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

用乘積法則求 f′(1)。

f(x)=x2(x+6)f(x)=x^2(x+6)
  • 商的分母須非零；實對數的真數須為正，三角函數求導使用弧度。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
f′=2x(x+t)+x2f\prime=2x(x+t)+x^2
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′(1)=2(1+6)+1=15f'(1)=2(1+6)+1=15

  3. 兩個因子均對導數有貢獻。

所求值為 15。

檢查與易錯點：兩個因子均對導數有貢獻。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求 f′(0)。

f(x)=x+7x+1f(x)=\frac{x+7}{x+1}
  • 商的分母須非零；實對數的真數須為正，三角函數求導使用弧度。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
f′=[(x+1)−(x+t)]/(x+1)2f\prime=[(x+1)-(x+t)]/(x+1)^2
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′(x)=(1−7)/(x+1)2f'(x)=(1-7)/(x+1)^2

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′(0)=−6f'(0)=-6

  4. 定義域排除 x=−1；零可代入。

所求值為 -6。

檢查與易錯點：定義域排除 x=−1；零可代入。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

用鏈式法則求 f′(0)。

f(x)=(2x+8)3f(x)=(2x+8)^3
  • 商的分母須非零；實對數的真數須為正，三角函數求導使用弧度。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
f′=3(2x+t)2⋅2f\prime=3(2x+t)^2\cdot2
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′(0)=6(8)2=384f'(0)=6(8)^2=384

  3. 內層導數提供因子2。

所求值為 384。

檢查與易錯點：內層導數提供因子2。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

用鏈式法則求 f′(0)。

f(x)=(2x+9)3f(x)=(2x+9)^3
  • 商的分母須非零；實對數的真數須為正，三角函數求導使用弧度。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
f′=3(2x+t)2⋅2f\prime=3(2x+t)^2\cdot2
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′(0)=6(9)2=486f'(0)=6(9)^2=486

  3. 內層導數提供因子2。

所求值為 486。

檢查與易錯點：內層導數提供因子2。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求 f′(0)。

f(x)=e10xf(x)=e^{10x}
  • 商的分母須非零；實對數的真數須為正，三角函數求導使用弧度。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
f′(x)=tetxf\prime(x)=te^{tx}
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′(0)=10e0=10f'(0)=10e^0=10

  3. 自然指數函數求導後仍保留本身。

所求值為 10。

檢查與易錯點：自然指數函數求導後仍保留本身。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求 f′(1)。

f(x)=ln⁡(11x)f(x)=\ln(11x)
  • 商的分母須非零；實對數的真數須為正，三角函數求導使用弧度。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
f′(x)=t/(tx)=1/xf\prime(x)=t/(tx)=1/x
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′(1)=1f\prime(1)=1

  3. 對數內的比例因子約去，但實數定義域仍為 x>0。

所求值為 1。

檢查與易錯點：對數內的比例因子約去，但實數定義域仍為 x>0。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

使用弧度，求 f′(0)。

f(x)=sin⁡(12x)+cos⁡xf(x)=\sin(12x)+\cos x
  • 商的分母須非零；實對數的真數須為正，三角函數求導使用弧度。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
f′(x)=tcos⁡(tx)−sin⁡xf\prime(x)=t\cos(tx)-\sin x
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′(0)=12⋅1−0=12f'(0)=12\cdot1-0=12

  3. 常用正弦導數公式必須使用弧度。

所求值為 12。

檢查與易錯點：常用正弦導數公式必須使用弧度。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求 f′(1)。

f(x)=ln⁡(13x)f(x)=\ln(13x)
  • 商的分母須非零；實對數的真數須為正，三角函數求導使用弧度。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
f′(x)=t/(tx)=1/xf\prime(x)=t/(tx)=1/x
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′(1)=1f\prime(1)=1

  3. 對數內的比例因子約去，但實數定義域仍為 x>0。

所求值為 1。

檢查與易錯點：對數內的比例因子約去，但實數定義域仍為 x>0。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

使用弧度，求 f′(0)。

f(x)=sin⁡(14x)+cos⁡xf(x)=\sin(14x)+\cos x
  • 商的分母須非零；實對數的真數須為正，三角函數求導使用弧度。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
f′(x)=tcos⁡(tx)−sin⁡xf\prime(x)=t\cos(tx)-\sin x
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′(0)=14⋅1−0=14f'(0)=14\cdot1-0=14

  3. 常用正弦導數公式必須使用弧度。

所求值為 14。

檢查與易錯點：常用正弦導數公式必須使用弧度。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 配合基本函數導數，運用冪、乘積、商及鏈式法則。
    • 「導數的運算」中哪一個條件不可缺少？
    • 複合函數在代入點之前須用哪個法則？

    板書重點

    • 定義關係：配合基本函數導數，運用冪、乘積、商及鏈式法則。
      (uv)′=u′v+uv′;[f(g)]′=f′(g)g′(uv)\prime=u\prime v+uv\prime;\quad [f(g)]\prime=f\prime(g)g\prime
    • 適用條件：商的分母須非零；實對數的真數須為正，三角函數求導使用弧度。

    預期想法

    • 乘積的導數不是各導數的乘積。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

    教材與來源說明 ↗