Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

導數的概念及其意義

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修 第二册(A版).pdf · 5.1 · PDF 64 / 印刷頁 59

先重溫：函數的概念及其表示

專題 01

導數的概念及其意義

區分平均與瞬時變化率，從極限推導切線。

學完之後，你能解釋

  • 區分平均與瞬時變化率，從極限推導切線。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

定義關係

區分平均與瞬時變化率，從極限推導切線。

f′(a)=lim⁡h→0[f(a+h)−f(a)]/hf\prime(a)=\lim_{h\to0}[f(a+h)-f(a)]/h

適用條件

差商要求 h≠0；可微要求左右極限相同且有限。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：沒有跳躍的圖形必定有切線斜率嗎？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

y=ax²；在 x=t 的切線斜率=2；從 0 至 t 的定積分=0.3333。定積分為有向量，可能為負。

y=ax²；在 x=t 的切線斜率=2；從 0 至 t 的定積分=0.3333。定積分為有向量，可能為負。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：用左右差商比較光滑點及尖角。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

由極限求 x² 在 x=t 的導數。

t=2t=2
  • 差商要求 h≠0；可微要求左右極限相同且有限。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
[(t+h)2−t2]/h=2t+h[(t+h)^2-t^2]/h=2t+h
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′(2)=lim⁡h→0(4+h)=4f'(2)=\lim_{h\to0}(4+h)=4

  3. 只有 h≠0 時才約去 h，再求極限。

所求值為 4。

檢查與易錯點：只有 h≠0 時才約去 h，再求極限。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

|x−t| 在 x=t 可微嗎？

t=3t=3
  • 差商要求 h≠0；可微要求左右極限相同且有限。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
比較左右差商。
提示 2
使用此中間關係式。
∣h∣/h|h|/h
完整解答

  1. 比較左右差商。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    h>0:∣h∣/h=1h>0: |h|/h=1

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    h<0:∣h∣/h=−1h<0: |h|/h=−1

  4. 連續不能消除左右導數不相同的問題。

所求關係或結論如下。

f′(3) undefinedf\prime(3)\text{ undefined}

檢查與易錯點：連續不能消除左右導數不相同的問題。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

求 y=x² 在 x=t 的法線。

t=4t=4
  • 差商要求 h≠0；可微要求左右極限相同且有限。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
mnormal=−1/f′(t)m_{\rm normal}=-1/f\prime(t)
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    mtangent=8≠0m_{\rm tangent}=8\ne0

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    mnormal=−1/8m_{\rm normal}=-1/8

  4. 此題導數非零；若切線斜率為零，法線應為鉛直線。

所求關係或結論如下。

y−16=−18(x−4)y-16=-\frac1{8}(x-4)

檢查與易錯點：此題導數非零；若切線斜率為零，法線應為鉛直線。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

由極限求 x² 在 x=t 的導數。

t=5t=5
  • 差商要求 h≠0；可微要求左右極限相同且有限。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
[(t+h)2−t2]/h=2t+h[(t+h)^2-t^2]/h=2t+h
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f′(5)=lim⁡h→0(10+h)=10f'(5)=\lim_{h\to0}(10+h)=10

  3. 只有 h≠0 時才約去 h，再求極限。

所求值為 10。

檢查與易錯點：只有 h≠0 時才約去 h，再求極限。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求 x² 從 t 到 t+1 的平均變化率。

t=6t=6
  • 差商要求 h≠0；可微要求左右極限相同且有限。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
[f(t+1)−f(t)]/1[f(t+1)-f(t)]/1
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (7)2−62=13(7)^2-6^2=13

  3. 有限區間的割線變化率通常不是端點的導數。

所求值為 13。

檢查與易錯點：有限區間的割線變化率通常不是端點的導數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

位置 s(u)=u²+3u。求 u=t 時速度。

t=7t=7
  • 差商要求 h≠0；可微要求左右極限相同且有限。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
v(u)=s′(u)=2u+3v(u)=s\prime(u)=2u+3
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    v(7)=17v(7)=17

  3. 速度單位是位置單位除以時間單位；加速度須再求一次導數。

所求值為 17。

檢查與易錯點：速度單位是位置單位除以時間單位；加速度須再求一次導數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求 y=x² 在 x=t 的切線。

t=8t=8
  • 差商要求 h≠0；可微要求左右極限相同且有限。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
m=f′(t),P=(t,t2)m=f\prime(t),\quad P=(t,t^2)
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    m=16m=16

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    y−64=16(x−8)y-64=16(x-8)

  4. 斜率本身不是直線方程；須包含切點。

所求關係或結論如下。

y−64=16(x−8)y-64=16(x-8)

檢查與易錯點：斜率本身不是直線方程；須包含切點。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求 y=x² 在 x=t 的切線。

t=9t=9
  • 差商要求 h≠0；可微要求左右極限相同且有限。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
m=f′(t),P=(t,t2)m=f\prime(t),\quad P=(t,t^2)
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    m=18m=18

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    y−81=18(x−9)y-81=18(x-9)

  4. 斜率本身不是直線方程；須包含切點。

所求關係或結論如下。

y−81=18(x−9)y-81=18(x-9)

檢查與易錯點：斜率本身不是直線方程；須包含切點。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

|x−t| 在 x=t 可微嗎？

t=10t=10
  • 差商要求 h≠0；可微要求左右極限相同且有限。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
比較左右差商。
提示 2
使用此中間關係式。
∣h∣/h|h|/h
完整解答

  1. 比較左右差商。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    h>0:∣h∣/h=1h>0: |h|/h=1

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    h<0:∣h∣/h=−1h<0: |h|/h=−1

  4. 連續不能消除左右導數不相同的問題。

所求關係或結論如下。

f′(10) undefinedf\prime(10)\text{ undefined}

檢查與易錯點：連續不能消除左右導數不相同的問題。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

水箱體積 V(h)=3h²。求 h=t 時 dV/dh。

t=11t=11
  • 差商要求 h≠0；可微要求左右極限相同且有限。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
dV/dh=6hdV/dh=6h
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    V′(11)=66V'(11)=66

  3. 此導數是體積對高度的變化率，不一定是對時間的變化率。

所求值為 66。

檢查與易錯點：此導數是體積對高度的變化率，不一定是對時間的變化率。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

求 y=x² 在 x=t 的法線。

t=12t=12
  • 差商要求 h≠0；可微要求左右極限相同且有限。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
mnormal=−1/f′(t)m_{\rm normal}=-1/f\prime(t)
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    mtangent=24≠0m_{\rm tangent}=24\ne0

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    mnormal=−1/24m_{\rm normal}=-1/24

  4. 此題導數非零；若切線斜率為零，法線應為鉛直線。

所求關係或結論如下。

y−144=−124(x−12)y-144=-\frac1{24}(x-12)

檢查與易錯點：此題導數非零；若切線斜率為零，法線應為鉛直線。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

水箱體積 V(h)=3h²。求 h=t 時 dV/dh。

t=13t=13
  • 差商要求 h≠0；可微要求左右極限相同且有限。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
dV/dh=6hdV/dh=6h
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    V′(13)=78V'(13)=78

  3. 此導數是體積對高度的變化率，不一定是對時間的變化率。

所求值為 78。

檢查與易錯點：此導數是體積對高度的變化率，不一定是對時間的變化率。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

求 y=x² 在 x=t 的法線。

t=14t=14
  • 差商要求 h≠0；可微要求左右極限相同且有限。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先對指定函數求導，再代入指定值。
提示 2
使用此中間關係式。
mnormal=−1/f′(t)m_{\rm normal}=-1/f\prime(t)
完整解答

  1. 先對指定函數求導，再代入指定值。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    mtangent=28≠0m_{\rm tangent}=28\ne0

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    mnormal=−1/28m_{\rm normal}=-1/28

  4. 此題導數非零；若切線斜率為零，法線應為鉛直線。

所求關係或結論如下。

y−196=−128(x−14)y-196=-\frac1{28}(x-14)

檢查與易錯點：此題導數非零；若切線斜率為零，法線應為鉛直線。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    教師備課與評核

    提問順序

    • 區分平均與瞬時變化率，從極限推導切線。
    • 「導數的概念及其意義」中哪一個條件不可缺少？
    • 沒有跳躍的圖形必定有切線斜率嗎？

    板書重點

    • 定義關係：區分平均與瞬時變化率，從極限推導切線。
      f′(a)=lim⁡h→0[f(a+h)−f(a)]/hf\prime(a)=\lim_{h\to0}[f(a+h)-f(a)]/h
    • 適用條件：差商要求 h≠0；可微要求左右極限相同且有限。

    預期想法

    • 連續本身不能保證可微。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

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