← 高中數學研習室

學習・解釋・訂正

利潤 P(x)=−x²+2tx−3，0≤x≤t+2。求最大利潤。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

返回課節／試卷 ↗

高二選擇性必修第二册(A版).pdf · 5.3 · PDF 89 / 印刷頁 84

先重溫：導數的運算

專題 01

導數在研究函數中的應用

用導數符號、邊界值及模型，說明極值與最佳化。

學完之後，你能解釋

用導數符號、邊界值及模型，說明極值與最佳化。
在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 鞏固#獨立練習

利潤 P(x)=−x²+2tx−3，0≤x≤t+2。求最大利潤。

t=12

駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先對指定函數求導，再代入指定值。

提示 2

使用此中間關係式。

P\prime(x)=2t-2x

完整解答

先對指定函數求導，再代入指定值。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$x=12\text{ lies in the domain}$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(12)=141$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P''=-2<0$
可行頂點給出最佳利潤；此模型不是總收入。

所求值為 141。

檢查與易錯點：可行頂點給出最佳利潤；此模型不是總收入。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

提問順序

用導數符號、邊界值及模型，說明極值與最佳化。
「導數在研究函數中的應用」中哪一個條件不可缺少？
駐點可能不是極值點嗎？

板書重點

定義關係：用導數符號、邊界值及模型，說明極值與最佳化。
$f\prime>0\Rightarrow f\text{ increasing}$
適用條件：駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。

預期想法

導數為零本身不表示最大或最小。

評核清單

1分：選取正確表示法及條件。
1分：建立中間關係式。
1分：完成連貫的計算或證明。
1分：解釋並檢查結論。