學習・解釋・訂正

指數函數

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修第一册(A版).pdf · 4.2 · PDF 118 / 印刷頁 111

先重溫：指數

專題 01

指數函數

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握指數函數。

學完之後，你能解釋

解讀及運用指數函數，並檢查定義域。
連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

底數

實數指數函數底數為正且不等於一。

y=a^x

增長與衰減

底數大於一時遞增；介乎零與一時遞減。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「指數函數」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

指數圖像：水平平移 0，垂直平移 0；自變量改成 x−0。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求正的指數底數。

f(x)=a^x,\quad f(2)=4

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。

提示 2

實數指數底數為正。

完整解答

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。
計算或化簡此關係式。
$a^2=4,\quad a>0\Rightarrow a=2$
負的代數平方根不是合適的指數底數。

所求值為 2。

檢查與易錯點：負的代數平方根不是合適的指數底數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

解指數方程。

2^x=2^{4}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。

提示 2

嚴格單調指數函數輸出相等，輸入亦相等。

完整解答

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。
計算或化簡此關係式。
$x=4$
底數為正且不等於一。

所求值為 4。

檢查與易錯點：底數為正且不等於一。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

解釋為何底數一不列入通常的指數增減分類。

f(x)=1^x

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。

提示 2

比較兩個不同輸入。

完整解答

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。
計算或化簡此關係式。
$1^x=1\quad(\forall x\in\mathbb R)$
它並非嚴格單調，亦不能在整條實軸建立反函數。

它是常數函數 1。

檢查與易錯點：它並非嚴格單調，亦不能在整條實軸建立反函數。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求正的指數底數。

f(x)=a^x,\quad f(2)=9

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。

提示 2

實數指數底數為正。

完整解答

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。
計算或化簡此關係式。
$a^2=9,\quad a>0\Rightarrow a=3$
負的代數平方根不是合適的指數底數。

所求值為 3。

檢查與易錯點：負的代數平方根不是合適的指數底數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

解指數方程。

2^x=2^{5}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。

提示 2

嚴格單調指數函數輸出相等，輸入亦相等。

完整解答

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。
計算或化簡此關係式。
$x=5$
底數為正且不等於一。

所求值為 5。

檢查與易錯點：底數為正且不等於一。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

x<y，比較兩值。

f(t)=(1/3)^t

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。

提示 2

底數介乎零與一時為衰減。

完整解答

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。
計算或化簡此關係式。
$0<1/3<1;\quad x<y\Rightarrow (1/3)^x>(1/3)^y$
函數遞減，因此輸入與輸出次序相反。

f(x)>f(y)。

檢查與易錯點：函數遞減，因此輸入與輸出次序相反。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

寫出值域及水平漸近線。

y=2^x+3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。

提示 2

把正的指數圖像向上平移。

完整解答

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。
計算或化簡此關係式。
$2^x>0\Rightarrow y>3;\quad 2^x\to0\ (x\to-\infty)$
漸近線可逼近但不會被取到。

值域 y>3；漸近線 y=3。

檢查與易錯點：漸近線可逼近但不會被取到。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求 y 軸截距。

y=3\cdot3^x

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。

提示 2

y 軸截距處 x=0。

完整解答

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。
計算或化簡此關係式。
$y(0)=3\cdot3^0=3$
外部倍數把圖像作縱向伸縮。

所求值為 3。

檢查與易錯點：外部倍數把圖像作縱向伸縮。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

某量起初為 3，每小時倍增，求 3 小時後數量。

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。

提示 2

連續三次乘同一倍數。

完整解答

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。
計算或化簡此關係式。
$N(3)=3\cdot2^3=24$
倍增是乘法增長，不是增加固定數量。

所求值為 24。

檢查與易錯點：倍增是乘法增長，不是增加固定數量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

證明兩指數函數之差是奇函數。

g(x)=2^x-2^{-x}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

兩項均把 x 換成 −x。

提示 2

兩項交換位置。

完整解答

兩項均把 x 換成 −x。
計算或化簡此關係式。
$g(-x)=2^{-x}-2^x=-g(x)$
兩個非奇函數之差仍可為奇函數。

g 在 R 為奇函數。

檢查與易錯點：兩個非奇函數之差仍可為奇函數。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

求正的指數底數。

f(x)=a^x,\quad f(2)=16

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。

提示 2

實數指數底數為正。

完整解答

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。
計算或化簡此關係式。
$a^2=16,\quad a>0\Rightarrow a=4$
負的代數平方根不是合適的指數底數。

所求值為 4。

檢查與易錯點：負的代數平方根不是合適的指數底數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

解指數方程。

2^x=2^{6}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。

提示 2

嚴格單調指數函數輸出相等，輸入亦相等。

完整解答

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。
計算或化簡此關係式。
$x=6$
底數為正且不等於一。

所求值為 6。

檢查與易錯點：底數為正且不等於一。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

x<y，比較兩值。

f(t)=(1/4)^t

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。

提示 2

底數介乎零與一時為衰減。

完整解答

辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。
計算或化簡此關係式。
$0<1/4<1;\quad x<y\Rightarrow (1/4)^x>(1/4)^y$
函數遞減，因此輸入與輸出次序相反。

f(x)>f(y)。

檢查與易錯點：函數遞減，因此輸入與輸出次序相反。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

使用「指數函數」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
改變一項假設後，原結論還成立嗎？

板書重點

解讀及運用指數函數，並檢查定義域。
底數：實數指數函數底數為正且不等於一。
$y=a^x$
增長與衰減：底數大於一時遞增；介乎零與一時遞減。
總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

預期想法

預期理由：實數指數函數底數為正且不等於一。
預期理由：底數大於一時遞增；介乎零與一時遞減。
預期修正：指數函數不會取到零漸近線。

評核清單

1：辨識已知條件及所求。
1：選取合適定義、表示或方法。
1：推理連貫且正確。
1：檢驗條件並解釋結果。