Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

絕對值與解集

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

2027 JM01 考試大綱 · 7. Algebraic inequalities · PDF 2 / 印刷頁 2

先重溫：集合的基本運算二次函數、方程與不等式

專題 01

絕對值與解集

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握絕對值與解集。

學完之後，你能解釋

  • 計算前選取等價方法並交代排除條件。
  • 連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
  • 能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

距離

|x−a| 表示實數軸上 x 與 a 的距離。

限制的邏輯

同時要求使用交集，任一成立的情況使用聯集。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「絕對值與解集」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

兩者相差 2ab=4；恰在 ab=0 時相等。(a+b)² = 9a²+b² = 5

兩者相差 2ab=4；恰在 ab=0 時相等。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

解嚴格絕對值不等式。

∣x−2∣<3|x-2|<3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。
提示 2
距離小於 3，位於兩端點之間。
完整解答

  1. 把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。

  2. 計算或化簡此關係式。

    −3<x−2<3-3<x-2<3

  3. 嚴格不等號排除端點。

(-1,5)。

檢查與易錯點：嚴格不等號排除端點。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

解外側距離不等式。

∣x−2∣≥2|x-2|\ge2
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。
提示 2
可位於任一外側。
完整解答

  1. 把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x−2≤−2orx−2≥2x-2\le-2\quad\text{or}\quad x-2\ge2

  3. 使用聯集，因為不需要同時滿足兩個不等式。

x≤0 或 x≥4。

檢查與易錯點：使用聯集，因為不需要同時滿足兩個不等式。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

比較至 0 與 2 的距離求解。

∣x∣<∣x−2∣|x|<|x-2|
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。
提示 2
兩邊均非負，因此本題平方可逆。
完整解答

  1. 把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x2<(x−2)2  ⟺  4x<4x^2<(x-2)^2\iff 4x<4

  3. 比較嚴格，因此排除中點。

x<2/2。

檢查與易錯點：比較嚴格，因此排除中點。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

解嚴格絕對值不等式。

∣x−3∣<3|x-3|<3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。
提示 2
距離小於 3，位於兩端點之間。
完整解答

  1. 把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。

  2. 計算或化簡此關係式。

    −3<x−3<3-3<x-3<3

  3. 嚴格不等號排除端點。

(0,6)。

檢查與易錯點：嚴格不等號排除端點。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

解外側距離不等式。

∣x−3∣≥2|x-3|\ge2
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。
提示 2
可位於任一外側。
完整解答

  1. 把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x−3≤−2orx−3≥2x-3\le-2\quad\text{or}\quad x-3\ge2

  3. 使用聯集，因為不需要同時滿足兩個不等式。

x≤1 或 x≥5。

檢查與易錯點：使用聯集，因為不需要同時滿足兩個不等式。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

解聯立不等式。

∣x−3∣≤3;x>3|x-3|\le3;\quad x>3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。
提示 2
保留同時滿足兩限制的點。
完整解答

  1. 把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。

  2. 計算或化簡此關係式。

    [0,6]∩(3,∞)=(3,6][0,6]\cap(3,\infty)=(3,6]

  3. 聯立要求使用交集。

(3,6]。

檢查與易錯點：聯立要求使用交集。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求整數解的數目。

∣x−3∣<2;x∈Z|x-3|<2;\quad x\in\mathbb Z
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。
提示 2
列出嚴格位於兩端點之間的整數。
完整解答

  1. 把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x∈{2,3,4}x\in\{2,3,4\}

  3. 連續區間長度不是整數點數。

所求值為 3。

檢查與易錯點：連續區間長度不是整數點數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

解右邊為負數的不等式。

∣x−3∣≤−1|x-3|\le-1
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。
提示 2
絕對值永遠非負。
完整解答

  1. 把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ∣x−3∣≥0>−1|x-3|\ge0>-1

  3. 平方會抹去關鍵符號條件。

無解。

檢查與易錯點：平方會抹去關鍵符號條件。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求距離和的最小值，並列出所有取到最小值的位置。

∣x∣+∣x−3∣|x|+|x-3|
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。
提示 2
先用三角不等式，再看兩中心之間的點。
完整解答

  1. 把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ∣x∣+∣x−3∣≥∣x−(x−3)∣=3|x|+|x-3|\ge|x-(x-3)|=3

  3. 最小值在整段區間取到，並非只有中點。

最小值 3，在 [0,3] 取到。

檢查與易錯點：最小值在整段區間取到，並非只有中點。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

比較至 0 與 3 的距離求解。

∣x∣<∣x−3∣|x|<|x-3|
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。
提示 2
兩邊均非負，因此本題平方可逆。
完整解答

  1. 把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x2<(x−3)2  ⟺  6x<9x^2<(x-3)^2\iff 6x<9

  3. 比較嚴格，因此排除中點。

x<3/2。

檢查與易錯點：比較嚴格，因此排除中點。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

解嚴格絕對值不等式。

∣x−4∣<3|x-4|<3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。
提示 2
距離小於 3，位於兩端點之間。
完整解答

  1. 把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。

  2. 計算或化簡此關係式。

    −3<x−4<3-3<x-4<3

  3. 嚴格不等號排除端點。

(1,7)。

檢查與易錯點：嚴格不等號排除端點。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

解外側距離不等式。

∣x−4∣≥2|x-4|\ge2
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。
提示 2
可位於任一外側。
完整解答

  1. 把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x−4≤−2orx−4≥2x-4\le-2\quad\text{or}\quad x-4\ge2

  3. 使用聯集，因為不需要同時滿足兩個不等式。

x≤2 或 x≥6。

檢查與易錯點：使用聯集，因為不需要同時滿足兩個不等式。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

解聯立不等式。

∣x−4∣≤3;x>4|x-4|\le3;\quad x>4
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。
提示 2
保留同時滿足兩限制的點。
完整解答

  1. 把絕對值理解為距離，正確使用交集或聯集。

  2. 計算或化簡此關係式。

    [1,7]∩(4,∞)=(4,7][1,7]\cap(4,\infty)=(4,7]

  3. 聯立要求使用交集。

(4,7]。

檢查與易錯點：聯立要求使用交集。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 使用「絕對值與解集」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
    • 哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
    • 改變一項假設後，原結論還成立嗎？

    板書重點

    • 計算前選取等價方法並交代排除條件。
    • 距離：|x−a| 表示實數軸上 x 與 a 的距離。
    • 限制的邏輯：同時要求使用交集，任一成立的情況使用聯集。
    • 總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

    預期想法

    • 預期理由：|x−a| 表示實數軸上 x 與 a 的距離。
    • 預期理由：同時要求使用交集，任一成立的情況使用聯集。
    • 預期修正：代數產生的候選解可能違反原定義域或符號條件。

    評核清單

    • 1：辨識已知條件及所求。
    • 1：選取合適定義、表示或方法。
    • 1：推理連貫且正確。
    • 1：檢驗條件並解釋結果。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

    教材與來源說明 ↗