學習・解釋・訂正

集合的基本運算

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修第一册(A版).pdf · 1.3 · PDF 17 / 印刷頁 10

先重溫：集合間的基本關係

專題 01

集合的基本運算

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握集合的基本運算。

學完之後，你能解釋

在明確條件下運用集合的基本運算。
連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

且／或

交集要求兩條件，聯集要求至少一個。

A\cap B,\quad A\cup B

補集

補集相對於指定全集。

U\setminus A

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「集合的基本運算」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

全集 U={1,…,7}；A={1,2,3}；B={3,4,5}。結果={3}；3屬於結果集合。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求交集的元素個數。

A=\{1,\ldots,4\},\ B=\{2,\ldots,6\}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。

提示 2

保留兩集合皆有的元素。

完整解答

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。
計算或化簡此關係式。
$A\cap B=\{2,3,4\}$
交集要求兩條件同時成立。

所求值為 3。

檢查與易錯點：交集要求兩條件同時成立。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求聯集的元素個數。

|A|=6,\ |B|=5,\ |A\cap B|=2

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。

提示 2

扣除被重複計算的交集。

完整解答

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。
計算或化簡此關係式。
$|A\cup B|=6+5-2=9$
聯集每個元素只計一次。

所求值為 9。

檢查與易錯點：聯集每個元素只計一次。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

多少個元素恰好只屬於 A、B 中之一？

|A|=7,\ |B|=6,\ |A\cap B|=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。

提示 2

從兩集合各自刪去交集。

完整解答

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。
計算或化簡此關係式。
$(|A|-3)+(|B|-3)=7$
恰好一個與至少一個不同。

所求值為 7。

檢查與易錯點：恰好一個與至少一個不同。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求交集的元素個數。

A=\{1,\ldots,5\},\ B=\{3,\ldots,8\}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。

提示 2

保留兩集合皆有的元素。

完整解答

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。
計算或化簡此關係式。
$A\cap B=\{3,4,5\}$
交集要求兩條件同時成立。

所求值為 3。

檢查與易錯點：交集要求兩條件同時成立。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求聯集的元素個數。

|A|=7,\ |B|=6,\ |A\cap B|=2

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。

提示 2

扣除被重複計算的交集。

完整解答

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。
計算或化簡此關係式。
$|A\cup B|=7+6-2=11$
聯集每個元素只計一次。

所求值為 11。

檢查與易錯點：聯集每個元素只計一次。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求補集的元素個數。

A\subseteq U,\ |U|=14,\ |A|=5

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。

提示 2

把全集分為兩個互不相交部分。

完整解答

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。
計算或化簡此關係式。
$|U\setminus A|=14-5=9$
補集取決於指定全集。

所求值為 9。

檢查與易錯點：補集取決於指定全集。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

證明聯集補集的法則。

U\setminus(A\cup B)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。

提示 2

否定「屬於 A 或 B」。

完整解答

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。
計算或化簡此關係式。
$x\notin A\cup B\iff(x\notin A)\land(x\notin B)$
否定「或」變成「且」。

等於 (U∖A)∩(U∖B)。

檢查與易錯點：否定「或」變成「且」。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

22 人中，9 人學音樂、10 人學體育，3 人兩者皆學。多少人兩者皆不學？

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。

提示 2

先求聯集，再取補集。

完整解答

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。
計算或化簡此關係式。
$22-(9+10-3)=6$
兩者皆不，表示在聯集之外。

所求值為 6。

檢查與易錯點：兩者皆不，表示在聯集之外。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求區間交集。

[-3,6)\cap(3,10]

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。

提示 2

兩端各取較嚴格的界限。

完整解答

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。
計算或化簡此關係式。
$3<x<6$
兩端點各違反至少一個原條件。

交集為 (3,6)。

檢查與易錯點：兩端點各違反至少一個原條件。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

多少個元素恰好只屬於 A、B 中之一？

|A|=8,\ |B|=7,\ |A\cap B|=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。

提示 2

從兩集合各自刪去交集。

完整解答

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。
計算或化簡此關係式。
$(|A|-3)+(|B|-3)=9$
恰好一個與至少一個不同。

所求值為 9。

檢查與易錯點：恰好一個與至少一個不同。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

求交集的元素個數。

A=\{1,\ldots,6\},\ B=\{4,\ldots,10\}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。

提示 2

保留兩集合皆有的元素。

完整解答

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。
計算或化簡此關係式。
$A\cap B=\{4,5,6\}$
交集要求兩條件同時成立。

所求值為 3。

檢查與易錯點：交集要求兩條件同時成立。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求聯集的元素個數。

|A|=8,\ |B|=7,\ |A\cap B|=2

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。

提示 2

扣除被重複計算的交集。

完整解答

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。
計算或化簡此關係式。
$|A\cup B|=8+7-2=13$
聯集每個元素只計一次。

所求值為 13。

檢查與易錯點：聯集每個元素只計一次。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

求補集的元素個數。

A\subseteq U,\ |U|=17,\ |A|=6

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。

提示 2

把全集分為兩個互不相交部分。

完整解答

把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。
計算或化簡此關係式。
$|U\setminus A|=17-6=11$
補集取決於指定全集。

所求值為 11。

檢查與易錯點：補集取決於指定全集。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

使用「集合的基本運算」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
改變一項假設後，原結論還成立嗎？

板書重點

在明確條件下運用集合的基本運算。
且／或：交集要求兩條件，聯集要求至少一個。
$A\cap B,\quad A\cup B$
補集：補集相對於指定全集。
$U\setminus A$
總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

預期想法

預期理由：交集要求兩條件，聯集要求至少一個。
預期理由：補集相對於指定全集。
預期修正：不要重複計算交集。

評核清單

1：辨識已知條件及所求。
1：選取合適定義、表示或方法。
1：推理連貫且正確。
1：檢驗條件並解釋結果。