Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

集合間的基本關係

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修 第一册(A版).pdf · 1.2 · PDF 14 / 印刷頁 7

先重溫：集合的概念

專題 01

集合間的基本關係

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握集合間的基本關係。

學完之後，你能解釋

  • 在明確條件下運用集合間的基本關係。
  • 連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
  • 能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

包含

A 每個元素均須屬於 B。

A⊆BA\subseteq B

相等

相等要求互相包含。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「集合間的基本關係」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

全集 U={1,…,7}；A={1,2,3}；B={3,4,5}。結果={3}；3屬於結果集合。A: 1,23B: 4,56,7

全集 U={1,…,7}；A={1,2,3}；B={3,4,5}。結果={3}；3屬於結果集合。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

A 有多少個子集？

∣A∣=3|A|=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
逐個元素使用包含關係的定義。
提示 2
每個元素可選或不選。
完整解答

  1. 逐個元素使用包含關係的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    23=82^{3}=8

  3. 空集與原集合均須計算。

所求值為 8。

檢查與易錯點：空集與原集合均須計算。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

A 有多少個真子集？

∣A∣=3|A|=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
逐個元素使用包含關係的定義。
提示 2
只刪去原集合。
完整解答

  1. 逐個元素使用包含關係的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    23−1=72^{3}-1=7

  3. 原集合非空時，空集仍是真子集。

所求值為 7。

檢查與易錯點：原集合非空時，空集仍是真子集。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

數出不含某指定元素的非空子集個數。

∣A∣=3|A|=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
逐個元素使用包含關係的定義。
提示 2
先排除該元素，再刪去空的選擇。
完整解答

  1. 逐個元素使用包含關係的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    22−1=32^{2}-1=3

  3. 兩項限制均須套用。

所求值為 3。

檢查與易錯點：兩項限制均須套用。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

A 有多少個子集？

∣A∣=4|A|=4
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
逐個元素使用包含關係的定義。
提示 2
每個元素可選或不選。
完整解答

  1. 逐個元素使用包含關係的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    24=162^{4}=16

  3. 空集與原集合均須計算。

所求值為 16。

檢查與易錯點：空集與原集合均須計算。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

A 有多少個真子集？

∣A∣=4|A|=4
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
逐個元素使用包含關係的定義。
提示 2
只刪去原集合。
完整解答

  1. 逐個元素使用包含關係的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    24−1=152^{4}-1=15

  3. 原集合非空時，空集仍是真子集。

所求值為 15。

檢查與易錯點：原集合非空時，空集仍是真子集。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

有多少個子集必須包含某指定元素？

∣A∣=4|A|=4
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
逐個元素使用包含關係的定義。
提示 2
固定該元素，其餘仍可自由選擇。
完整解答

  1. 逐個元素使用包含關係的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    23=82^{3}=8

  3. 必選元素不增加二選一的自由度。

所求值為 8。

檢查與易錯點：必選元素不增加二選一的自由度。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

解釋兩敘述為何等價。

0∈A;{0}⊆A0\in A;\quad \{0\}\subseteq A
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
逐個元素使用包含關係的定義。
提示 2
單元素集只有一個元素須檢查。
完整解答

  1. 逐個元素使用包含關係的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    {0}⊆A  ⟺  (∀x∈{0},x∈A)  ⟺  0∈A\{0\}\subseteq A\iff(\forall x\in\{0\},x\in A)\iff0\in A

  3. 屬於與包含所涉及的物件類型不同。

兩者均表示零屬於 A。

檢查與易錯點：屬於與包含所涉及的物件類型不同。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

證明空集是任意集合的子集。

∅⊆A\varnothing\subseteq A
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
逐個元素使用包含關係的定義。
提示 2
反例首先須屬於空集。
完整解答

  1. 逐個元素使用包含關係的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ¬(∅⊆A)⇒∃x∈∅:x∉A\neg(\varnothing\subseteq A)\Rightarrow\exists x\in\varnothing:x\notin A

  3. 所要求的反例不可能存在。

空集中沒有元素能違反包含條件。

檢查與易錯點：所要求的反例不可能存在。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

證明包含關係的傳遞性。

A⊆B, B⊆CA\subseteq B,\ B\subseteq C
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
逐個元素使用包含關係的定義。
提示 2
沿兩個包含關係追蹤任意元素。
完整解答

  1. 逐個元素使用包含關係的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x∈A⇒x∈B⇒x∈Cx\in A\Rightarrow x\in B\Rightarrow x\in C

  3. 任意元素的論證能證明整個集合的包含關係。

A 的每個元素均屬於 C。

檢查與易錯點：任意元素的論證能證明整個集合的包含關係。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

數出不含某指定元素的非空子集個數。

∣A∣=4|A|=4
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
逐個元素使用包含關係的定義。
提示 2
先排除該元素，再刪去空的選擇。
完整解答

  1. 逐個元素使用包含關係的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    23−1=72^{3}-1=7

  3. 兩項限制均須套用。

所求值為 7。

檢查與易錯點：兩項限制均須套用。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

A 有多少個子集？

∣A∣=5|A|=5
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
逐個元素使用包含關係的定義。
提示 2
每個元素可選或不選。
完整解答

  1. 逐個元素使用包含關係的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    25=322^{5}=32

  3. 空集與原集合均須計算。

所求值為 32。

檢查與易錯點：空集與原集合均須計算。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

A 有多少個真子集？

∣A∣=5|A|=5
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
逐個元素使用包含關係的定義。
提示 2
只刪去原集合。
完整解答

  1. 逐個元素使用包含關係的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    25−1=312^{5}-1=31

  3. 原集合非空時，空集仍是真子集。

所求值為 31。

檢查與易錯點：原集合非空時，空集仍是真子集。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

有多少個子集必須包含某指定元素？

∣A∣=5|A|=5
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
逐個元素使用包含關係的定義。
提示 2
固定該元素，其餘仍可自由選擇。
完整解答

  1. 逐個元素使用包含關係的定義。

  2. 計算或化簡此關係式。

    24=162^{4}=16

  3. 必選元素不增加二選一的自由度。

所求值為 16。

檢查與易錯點：必選元素不增加二選一的自由度。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 使用「集合間的基本關係」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
    • 哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
    • 改變一項假設後，原結論還成立嗎？

    板書重點

    • 在明確條件下運用集合間的基本關係。
    • 包含：A 每個元素均須屬於 B。
      A⊆BA\subseteq B
    • 相等：相等要求互相包含。
    • 總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

    預期想法

    • 預期理由：A 每個元素均須屬於 B。
    • 預期理由：相等要求互相包含。
    • 預期修正：區分元素及其單元素集。

    評核清單

    • 1：辨識已知條件及所求。
    • 1：選取合適定義、表示或方法。
    • 1：推理連貫且正確。
    • 1：檢驗條件並解釋結果。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

    教材與來源說明 ↗