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學習・解釋・訂正

雙曲線離心率為 3，a,b>0，求 (b²+2)/a 最小值。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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專題 01

2023 JM01

整個 b²+2 都是分子。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 鞏固#獨立練習

雙曲線離心率為 3，a,b>0，求 (b²+2)/a 最小值。

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

官方試卷 · jm01-2023 · I.12 · PDF 3

官方原卷及參考答案 ↗ · 參考答案 PDF 頁 5

考點與先備課節

選項 A $2$
選項 B $2\sqrt2$
選項 C $2\sqrt3$
選項 D $4$
選項 E $8$

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把離心率換成 a、b 關係。

提示 2

對兩個正項使用算術幾何平均不等式。

完整解答

用 c²=a²+b²、c/a=3。
$b^2=8a^2,\quad\frac{b^2+2}{a}=8a+\frac2a$
兩項乘積固定且可取等號。
$8a+2/a\ge2\sqrt{16}=8,\quad8a=2/a\iff a=1/2$

E：8。

檢查與易錯點：整個 b²+2 都是分子。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
用 c²=a²+b²、c/a=3。
$b^2=8a^2,\quad\frac{b^2+2}{a}=8a+\frac2a$
兩項乘積固定且可取等號。
$8a+2/a\ge2\sqrt{16}=8,\quad8a=2/a\iff a=1/2$

先思考，待同學準備好再展開提示。