Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

離散型隨機變量的數字特徵

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高三選擇性必修 第三册(A版).pdf · 7.3 · PDF 67 / 印刷頁 62

先重溫：離散型隨機變量及其分佈列

專題 01

離散型隨機變量的數字特徵

計算期望及方差，區分取值變換與隨機獨立性。

學完之後，你能解釋

  • 計算期望及方差，區分取值變換與隨機獨立性。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

定義關係

計算期望及方差，區分取值變換與隨機獨立性。

E(X)=∑xpx;Var⁡(X)=E(X2)−[E(X)]2E(X)=\sum xp_x;\quad\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

適用條件

方差非負；求和的方差須包含協方差，除非有獨立性支持。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：把所有取值加倍，方差會加倍還是變成四倍？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

P(X=0,1,2)=(1/4,1/2,1/4)；Y=aX+b 的 E(Y)=2，Var(Y)=2。圖中高度為概率的六倍，橫向顯示尺度自動調整，讓全部結果可見；a=0 時唯一結果 b 的概率為 1。

P(X=0,1,2)=(1/4,1/2,1/4)；Y=aX+b 的 E(Y)=2，Var(Y)=2。圖中高度為概率的六倍，橫向顯示尺度自動調整，讓全部結果可見；a=0 時唯一結果 b 的概率為 1。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：由同一分佈比較 X、2X 及 X 加常數。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求 E(X)。

X=0,2;P=1/2,1/2X=0,2;\quad P=1/2,1/2
  • 方差非負；求和的方差須包含協方差，除非有獨立性支持。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
使用此中間關係式。
E(X)=0/2+t/2E(X)=0/2+t/2
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    E(X)=2/2E(X)=2/2

  3. 期望是加權平均，不一定是可能取值。

所求值為 1。

檢查與易錯點：期望是加權平均，不一定是可能取值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求 Var(3X+2)。

Var(X)=3Var(X)=3
  • 方差非負；求和的方差須包含協方差，除非有獨立性支持。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
使用此中間關係式。
Var(aX+b)=a2Var(X)Var(aX+b)=a^2Var(X)
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Var(3X+2)=9(3)=27Var(3X+2)=9(3)=27

  3. 平移常數不影響方差。

所求值為 27。

檢查與易錯點：平移常數不影響方差。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

遊戲以1/4概率派發 t，否則為0；入場費為2。求預期淨收益。

t=4t=4
  • 方差非負；求和的方差須包含協方差，除非有獨立性支持。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
淨收益＝派發額−2。
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    E(G)=4/4−2=−1E(G)=4/4-2=-1

  3. 預期淨收益不同於預期總派發額，也不是保證獲得的結果。

所求值為 -1。

檢查與易錯點：預期淨收益不同於預期總派發額，也不是保證獲得的結果。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求 E(X)。

X=0,5;P=1/2,1/2X=0,5;\quad P=1/2,1/2
  • 方差非負；求和的方差須包含協方差，除非有獨立性支持。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
使用此中間關係式。
E(X)=0/2+t/2E(X)=0/2+t/2
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    E(X)=5/2E(X)=5/2

  3. 期望是加權平均，不一定是可能取值。

所求值為 2.5。

檢查與易錯點：期望是加權平均，不一定是可能取值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求 E(X²)。

X=0,6;P=1/2,1/2X=0,6;\quad P=1/2,1/2
  • 方差非負；求和的方差須包含協方差，除非有獨立性支持。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
先把取值平方，再取加權平均。
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    E(X2)=0/2+36/2E(X^2)=0/2+36/2

  3. 先把取值平方再平均；不要改成把期望平方。

所求值為 18。

檢查與易錯點：先把取值平方再平均；不要改成把期望平方。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求 Var(X)。

X=0,7;P=1/2,1/2X=0,7;\quad P=1/2,1/2
  • 方差非負；求和的方差須包含協方差，除非有獨立性支持。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
使用此中間關係式。
Var(X)=E(X2)−E(X)2Var(X)=E(X^2)-E(X)^2
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Var(X)=49/2−(7/2)2=49/4Var(X)=49/2-(7/2)^2=49/4

  3. 方差的單位為取值單位的平方。

所求值為 12.25。

檢查與易錯點：方差的單位為取值單位的平方。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求 E(3X+2)。

E(X)=8E(X)=8
  • 方差非負；求和的方差須包含協方差，除非有獨立性支持。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
使用此中間關係式。
E(aX+b)=aE(X)+bE(aX+b)=aE(X)+b
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    E(3X+2)=3(8)+2=26E(3X+2)=3(8)+2=26

  3. 期望的線性性不需要獨立性。

所求值為 26。

檢查與易錯點：期望的線性性不需要獨立性。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求 E(3X+2)。

E(X)=9E(X)=9
  • 方差非負；求和的方差須包含協方差，除非有獨立性支持。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
使用此中間關係式。
E(aX+b)=aE(X)+bE(aX+b)=aE(X)+b
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    E(3X+2)=3(9)+2=29E(3X+2)=3(9)+2=29

  3. 期望的線性性不需要獨立性。

所求值為 29。

檢查與易錯點：期望的線性性不需要獨立性。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求 Var(3X+2)。

Var(X)=10Var(X)=10
  • 方差非負；求和的方差須包含協方差，除非有獨立性支持。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
使用此中間關係式。
Var(aX+b)=a2Var(X)Var(aX+b)=a^2Var(X)
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Var(3X+2)=9(10)=90Var(3X+2)=9(10)=90

  3. 平移常數不影響方差。

所求值為 90。

檢查與易錯點：平移常數不影響方差。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

獨立 X、Y 的方差為 t 及2。求 Var(X+Y)。

t=11t=11
  • 方差非負；求和的方差須包含協方差，除非有獨立性支持。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
使用此中間關係式。
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Var(X+Y)=11+2=13Var(X+Y)=11+2=13

  3. 此處獨立性使協方差為零。

所求值為 13。

檢查與易錯點：此處獨立性使協方差為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

遊戲以1/4概率派發 t，否則為0；入場費為2。求預期淨收益。

t=12t=12
  • 方差非負；求和的方差須包含協方差，除非有獨立性支持。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
淨收益＝派發額−2。
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    E(G)=12/4−2=1E(G)=12/4-2=1

  3. 預期淨收益不同於預期總派發額，也不是保證獲得的結果。

所求值為 1。

檢查與易錯點：預期淨收益不同於預期總派發額，也不是保證獲得的結果。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

獨立 X、Y 的方差為 t 及2。求 Var(X+Y)。

t=13t=13
  • 方差非負；求和的方差須包含協方差，除非有獨立性支持。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
使用此中間關係式。
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Var(X+Y)=13+2=15Var(X+Y)=13+2=15

  3. 此處獨立性使協方差為零。

所求值為 15。

檢查與易錯點：此處獨立性使協方差為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

遊戲以1/4概率派發 t，否則為0；入場費為2。求預期淨收益。

t=14t=14
  • 方差非負；求和的方差須包含協方差，除非有獨立性支持。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
淨收益＝派發額−2。
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    E(G)=14/4−2=1.5E(G)=14/4-2=1.5

  3. 預期淨收益不同於預期總派發額，也不是保證獲得的結果。

所求值為 1.5。

檢查與易錯點：預期淨收益不同於預期總派發額，也不是保證獲得的結果。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 計算期望及方差，區分取值變換與隨機獨立性。
    • 「離散型隨機變量的數字特徵」中哪一個條件不可缺少？
    • 把所有取值加倍，方差會加倍還是變成四倍？

    板書重點

    • 定義關係：計算期望及方差，區分取值變換與隨機獨立性。
      E(X)=∑xpx;Var⁡(X)=E(X2)−[E(X)]2E(X)=\sum xp_x;\quad\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
    • 適用條件：方差非負；求和的方差須包含協方差，除非有獨立性支持。

    預期想法

    • E(X²) 通常不等於 [E(X)]²。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

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