Kenneth Cheng數學建模
← 高中數學研習室

學習・解釋・訂正

離散型隨機變量及其分佈列

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高三選擇性必修 第三册(A版).pdf · 7.2 · PDF 61 / 印刷頁 56

先重溫：條件概率與全概率公式

專題 01

離散型隨機變量及其分佈列

建立分佈列，從可能值集合計算事件概率。

學完之後，你能解釋

  • 建立分佈列，從可能值集合計算事件概率。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

定義關係

建立分佈列，從可能值集合計算事件概率。

∑xP(X=x)=1\sum_xP(X=x)=1

適用條件

每個概率均在 [0,1]；取值及事件不能重複計數。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：兩個不同樣本結果能對應同一隨機變量值嗎？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

二項模型：固定 n=5、試驗獨立、共同 p=0.5。E(X)=2.5，Var(X)=1.25；長條顯示精確概率。

二項模型：固定 n=5、試驗獨立、共同 p=0.5。E(X)=2.5，Var(X)=1.25；長條顯示精確概率。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：先按取值合併樣本結果，再把概率相加。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求缺少的概率 p。

X∈{0,2,3};P=(1/4,p,1/2)X\in\{0,2,3\};\quad P=(1/4,p,1/2)
  • 每個概率均在 [0,1]；取值及事件不能重複計數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
使用此中間關係式。
1/4+p+1/2=11/4+p+1/2=1
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    p=1/4p=1/4

  3. 概率總和為一決定剩餘概率。

所求值為 0.25。

檢查與易錯點：概率總和為一決定剩餘概率。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

P(X=0)=p、P(X=1)=2p、P(X=2)=tp，求 p。

t=3t=3
  • 每個概率均在 [0,1]；取值及事件不能重複計數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
使用此中間關係式。
p+2p+tp=1p+2p+tp=1
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    6p=1⇒p=1/66p=1\Rightarrow p=1/6

  3. 須檢查所有結果概率均非負。

所求值為 0.166666666667。

檢查與易錯點：須檢查所有結果概率均非負。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

擲公平骰子；點數不大於 d 時 X=1，否則 X=0。求 P(X=0)。

d=5d=5
  • 每個概率均在 [0,1]；取值及事件不能重複計數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
計算嚴格大於 d 的骰子點數。
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    P(X=0)=(6−5)/6=1/6P(X=0)=(6-5)/6=1/6

  3. 不同骰子點數被合併為一個二元取值。

所求值為 0.166666666667。

檢查與易錯點：不同骰子點數被合併為一個二元取值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求缺少的概率 p。

X∈{0,5,6};P=(1/4,p,1/2)X\in\{0,5,6\};\quad P=(1/4,p,1/2)
  • 每個概率均在 [0,1]；取值及事件不能重複計數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
使用此中間關係式。
1/4+p+1/2=11/4+p+1/2=1
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    p=1/4p=1/4

  3. 概率總和為一決定剩餘概率。

所求值為 0.25。

檢查與易錯點：概率總和為一決定剩餘概率。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求 P(X≥t)。

X∈{0,6,7};P=(1/4,1/4,1/2)X\in\{0,6,7\};\quad P=(1/4,1/4,1/2)
  • 每個概率均在 [0,1]；取值及事件不能重複計數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
把取值 t、t+1 的概率相加。
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    P(X≥t)=1/4+1/2=3/4P(X\ge t)=1/4+1/2=3/4

  3. 先按門檻選取值，再加上其概率。

所求值為 0.75。

檢查與易錯點：先按門檻選取值，再加上其概率。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

拋 r 枚獨立公平硬幣，X 為正面數。求 P(X=1)。

r=5r=5
  • 每個概率均在 [0,1]；取值及事件不能重複計數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
把只有一個正面的等可能結果合併。
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    P(X=1)=5/32P(X=1)=5/32

  3. 唯一正面每個可能位置，各對應一個符合條件的結果。

所求值為 0.15625。

檢查與易錯點：唯一正面每個可能位置，各對應一個符合條件的結果。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

寫出 Y=2X+1 的分佈列。

X=0,8;P=1/3,2/3X=0,8;\quad P=1/3,2/3
  • 每個概率均在 [0,1]；取值及事件不能重複計數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
把每個可能取值代入 Y=2X+1。
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    0↦1,8↦170\mapsto1,\quad 8\mapsto17

  3. 一對一取值變換保留對應概率。

所求關係或結論如下。

Y=1,17;P=1/3,2/3Y=1,17;\quad P=1/3,2/3

檢查與易錯點：一對一取值變換保留對應概率。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

寫出 Y=2X+1 的分佈列。

X=0,9;P=1/3,2/3X=0,9;\quad P=1/3,2/3
  • 每個概率均在 [0,1]；取值及事件不能重複計數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
把每個可能取值代入 Y=2X+1。
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    0↦1,9↦190\mapsto1,\quad 9\mapsto19

  3. 一對一取值變換保留對應概率。

所求關係或結論如下。

Y=1,19;P=1/3,2/3Y=1,19;\quad P=1/3,2/3

檢查與易錯點：一對一取值變換保留對應概率。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

P(X=0)=p、P(X=1)=2p、P(X=2)=tp，求 p。

t=10t=10
  • 每個概率均在 [0,1]；取值及事件不能重複計數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
使用此中間關係式。
p+2p+tp=1p+2p+tp=1
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    13p=1⇒p=1/1313p=1\Rightarrow p=1/13

  3. 須檢查所有結果概率均非負。

所求值為 0.0769230769231。

檢查與易錯點：須檢查所有結果概率均非負。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

這些數字可構成概率分佈嗎？說明。

X=0,11,12;P=0.6,0.5,−0.1X=0,11,12;\quad P=0.6,0.5,-0.1
  • 每個概率均在 [0,1]；取值及事件不能重複計數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
除了總和，亦須檢查非負性。
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    0.6+0.5−0.1=10.6+0.5-0.1=1

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    P(X=t+1)=−0.1<0P(X=t+1)=-0.1<0

  4. 總和為一並不足夠。

所求關係或結論如下。

invalid\text{invalid}

檢查與易錯點：總和為一並不足夠。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

擲公平骰子；點數不大於 d 時 X=1，否則 X=0。求 P(X=0)。

d=1d=1
  • 每個概率均在 [0,1]；取值及事件不能重複計數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
計算嚴格大於 d 的骰子點數。
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    P(X=0)=(6−1)/6=5/6P(X=0)=(6-1)/6=5/6

  3. 不同骰子點數被合併為一個二元取值。

所求值為 0.833333333333。

檢查與易錯點：不同骰子點數被合併為一個二元取值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

這些數字可構成概率分佈嗎？說明。

X=0,13,14;P=0.6,0.5,−0.1X=0,13,14;\quad P=0.6,0.5,-0.1
  • 每個概率均在 [0,1]；取值及事件不能重複計數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
除了總和，亦須檢查非負性。
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    0.6+0.5−0.1=10.6+0.5-0.1=1

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    P(X=t+1)=−0.1<0P(X=t+1)=-0.1<0

  4. 總和為一並不足夠。

所求關係或結論如下。

invalid\text{invalid}

檢查與易錯點：總和為一並不足夠。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

擲公平骰子；點數不大於 d 時 X=1，否則 X=0。求 P(X=0)。

d=3d=3
  • 每個概率均在 [0,1]；取值及事件不能重複計數。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
計算嚴格大於 d 的骰子點數。
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    P(X=0)=(6−3)/6=3/6P(X=0)=(6-3)/6=3/6

  3. 不同骰子點數被合併為一個二元取值。

所求值為 0.5。

檢查與易錯點：不同骰子點數被合併為一個二元取值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 建立分佈列，從可能值集合計算事件概率。
    • 「離散型隨機變量及其分佈列」中哪一個條件不可缺少？
    • 兩個不同樣本結果能對應同一隨機變量值嗎？

    板書重點

    • 定義關係：建立分佈列，從可能值集合計算事件概率。
      ∑xP(X=x)=1\sum_xP(X=x)=1
    • 適用條件：每個概率均在 [0,1]；取值及事件不能重複計數。

    預期想法

    • 隨機變量取值與其概率不能互換。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

    教材與來源說明 ↗