學習・解釋・訂正

條件概率與全概率公式

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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先重溫：排列與組合

專題 01

條件概率與全概率公式

使用條件分母、互斥分割及貝葉斯反向推論。

學完之後，你能解釋

使用條件分母、互斥分割及貝葉斯反向推論。
在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

定義關係

使用條件分母、互斥分割及貝葉斯反向推論。

P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)

適用條件

條件事件概率須為正；全概率分割須互斥且涵蓋全部樣本。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：兩事件可同時發生時，仍可能獨立嗎？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

二項模型：固定 n=5、試驗獨立、共同 p=0.5。E(X)=2.5，Var(X)=1.25；長條顯示精確概率。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：構造顯示獨立的概率表，並比較兩個條件方向。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

由已知概率求 P(A|B)。

P(A\cap B)=1/6,\quad P(B)=2/6

條件事件概率須為正；全概率分割須互斥且涵蓋全部樣本。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

以條件概率或互斥分割表示事件。

提示 2

使用此中間關係式。

P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)

完整解答

以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(A|B)=(1/u)/(2/u)=1/2$
把樣本空間限制到 B。

所求值為 0.5。

檢查與易錯點：把樣本空間限制到 B。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

以1/(t+2)概率選機器1，否則選機器2；失敗率為1/10及1/5。已知失敗，求使用機器1的概率。

t=3

條件事件概率須為正；全概率分割須互斥且涵蓋全部樣本。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

以條件概率或互斥分割表示事件。

提示 2

使用此中間關係式。

P(M_1|F)=P(M_1\cap F)/P(F)

完整解答

以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(F)=9/[10(5)]$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(M_1|F)=\frac{1/[10(5)]}{9/[10(5)]}=1/9$
後驗概率的分母包含兩台機器的失敗情況。

所求值為 0.111111111111。

檢查與易錯點：後驗概率的分母包含兩台機器的失敗情況。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

公平硬幣選袋：袋1有 t 紅1藍；袋2有1紅 t 藍。已知抽到紅球，求選袋1的概率。

t=4

條件事件概率須為正；全概率分割須互斥且涵蓋全部樣本。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

以條件概率或互斥分割表示事件。

提示 2

以 P(紅)=1/2 運用貝葉斯公式。

完整解答

以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(R)=\tfrac12[t/(5)+1/(5)]=1/2$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(B_1|R)=t/5$
觀察顏色後，原本相等的選袋先驗概率不再相等。

所求值為 0.8。

檢查與易錯點：觀察顏色後，原本相等的選袋先驗概率不再相等。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

由已知概率求 P(A|B)。

P(A\cap B)=1/9,\quad P(B)=2/9

條件事件概率須為正；全概率分割須互斥且涵蓋全部樣本。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

以條件概率或互斥分割表示事件。

提示 2

使用此中間關係式。

P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)

完整解答

以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(A|B)=(1/u)/(2/u)=1/2$
把樣本空間限制到 B。

所求值為 0.5。

檢查與易錯點：把樣本空間限制到 B。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

袋有 t 個紅球及2個藍球，不放回抽兩球。已知首球紅色，求第二球藍色的概率。

t=6

條件事件概率須為正；全概率分割須互斥且涵蓋全部樣本。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

以條件概率或互斥分割表示事件。

提示 2

抽出紅球後，總數為 t+1，藍球仍為2。

完整解答

以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P=2/7$
顏色數及分母須反映已知資訊。

所求值為 0.285714285714。

檢查與易錯點：顏色數及分母須反映已知資訊。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

A、B 獨立，P(A)=1/3、P(B)=t/(t+1)。求 P(A∩B)。

t=7

條件事件概率須為正；全概率分割須互斥且涵蓋全部樣本。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

以條件概率或互斥分割表示事件。

提示 2

使用此中間關係式。

P(A\cap B)=P(A)P(B)

完整解答

以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P=7/[3(8)]$
此處相乘由已指定的獨立性支持。

所求值為 0.291666666667。

檢查與易錯點：此處相乘由已指定的獨立性支持。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

以1/(t+2)概率選機器1，否則選機器2；失敗率分別為1/10及1/5。求總失敗概率。

t=8

條件事件概率須為正；全概率分割須互斥且涵蓋全部樣本。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

以條件概率或互斥分割表示事件。

提示 2

使用此中間關係式。

P(F)=P(M_1)P(F|M_1)+P(M_2)P(F|M_2)

完整解答

以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(F)=\frac1{10}\frac1{10}+\frac{9}{10}\frac15=\frac{19}{100}$
機器選擇構成互斥且完備的分割。

所求值為 0.19。

檢查與易錯點：機器選擇構成互斥且完備的分割。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

以1/(t+2)概率選機器1，否則選機器2；失敗率分別為1/10及1/5。求總失敗概率。

t=9

條件事件概率須為正；全概率分割須互斥且涵蓋全部樣本。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

以條件概率或互斥分割表示事件。

提示 2

使用此中間關係式。

P(F)=P(M_1)P(F|M_1)+P(M_2)P(F|M_2)

完整解答

以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(F)=\frac1{11}\frac1{10}+\frac{10}{11}\frac15=\frac{21}{110}$
機器選擇構成互斥且完備的分割。

所求值為 0.190909090909。

檢查與易錯點：機器選擇構成互斥且完備的分割。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

以1/(t+2)概率選機器1，否則選機器2；失敗率為1/10及1/5。已知失敗，求使用機器1的概率。

t=10

條件事件概率須為正；全概率分割須互斥且涵蓋全部樣本。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

以條件概率或互斥分割表示事件。

提示 2

使用此中間關係式。

P(M_1|F)=P(M_1\cap F)/P(F)

完整解答

以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(F)=23/[10(12)]$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(M_1|F)=\frac{1/[10(12)]}{23/[10(12)]}=1/23$
後驗概率的分母包含兩台機器的失敗情況。

所求值為 0.0434782608696。

檢查與易錯點：後驗概率的分母包含兩台機器的失敗情況。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

A、B 互斥且兩者概率都為正。它們可獨立嗎？

P(A)=1/15,\quad P(B)=1/15

條件事件概率須為正；全概率分割須互斥且涵蓋全部樣本。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

以條件概率或互斥分割表示事件。

提示 2

比較交集概率與兩概率的乘積。

完整解答

以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(A)P(B)=1/225>0$
概率均為正的互斥事件並不獨立。

所求關係或結論如下。

P(A\cap B)=0\ne P(A)P(B)

檢查與易錯點：概率均為正的互斥事件並不獨立。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

公平硬幣選袋：袋1有 t 紅1藍；袋2有1紅 t 藍。已知抽到紅球，求選袋1的概率。

t=12

條件事件概率須為正；全概率分割須互斥且涵蓋全部樣本。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

以條件概率或互斥分割表示事件。

提示 2

以 P(紅)=1/2 運用貝葉斯公式。

完整解答

以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(R)=\tfrac12[t/(13)+1/(13)]=1/2$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(B_1|R)=t/13$
觀察顏色後，原本相等的選袋先驗概率不再相等。

所求值為 0.923076923077。

檢查與易錯點：觀察顏色後，原本相等的選袋先驗概率不再相等。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

A、B 互斥且兩者概率都為正。它們可獨立嗎？

P(A)=1/17,\quad P(B)=1/17

條件事件概率須為正；全概率分割須互斥且涵蓋全部樣本。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

以條件概率或互斥分割表示事件。

提示 2

比較交集概率與兩概率的乘積。

完整解答

以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(A)P(B)=1/289>0$
概率均為正的互斥事件並不獨立。

所求關係或結論如下。

P(A\cap B)=0\ne P(A)P(B)

檢查與易錯點：概率均為正的互斥事件並不獨立。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

公平硬幣選袋：袋1有 t 紅1藍；袋2有1紅 t 藍。已知抽到紅球，求選袋1的概率。

t=14

條件事件概率須為正；全概率分割須互斥且涵蓋全部樣本。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

以條件概率或互斥分割表示事件。

提示 2

以 P(紅)=1/2 運用貝葉斯公式。

完整解答

以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(R)=\tfrac12[t/(15)+1/(15)]=1/2$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(B_1|R)=t/15$
觀察顏色後，原本相等的選袋先驗概率不再相等。

所求值為 0.933333333333。

檢查與易錯點：觀察顏色後，原本相等的選袋先驗概率不再相等。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

使用條件分母、互斥分割及貝葉斯反向推論。
「條件概率與全概率公式」中哪一個條件不可缺少？
兩事件可同時發生時，仍可能獨立嗎？

板書重點

定義關係：使用條件分母、互斥分割及貝葉斯反向推論。
$P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)$
適用條件：條件事件概率須為正；全概率分割須互斥且涵蓋全部樣本。

預期想法

P(A|B) 不一定等於 P(B|A)；獨立與互斥不同。

評核清單

1分：選取正確表示法及條件。
1分：建立中間關係式。
1分：完成連貫的計算或證明。
1分：解釋並檢查結論。