Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

排列與組合

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高三選擇性必修 第三册(A版).pdf · 6.2 · PDF 19 / 印刷頁 14

先重溫：分類加法與分步乘法計數原理

專題 01

排列與組合

區分有序選取、無序集合及排列中的對稱性。

學完之後，你能解釋

  • 區分有序選取、無序集合及排列中的對稱性。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

定義關係

區分有序選取、無序集合及排列中的對稱性。

Pnr=n!/(n−r)!;Cnr=n!/[r!(n−r)!]P_n^r=n!/(n-r)!;\quad C_n^r=n!/[r!(n-r)!]

適用條件

人數及項數為非負整數；須判斷標籤、次序及旋轉是否構成不同結果。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：選委員會為甚麼與選主席及秘書不同？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

從 5 個不同物件選 2 個：不計次序 10 種，計次序 20 種。r>n 時均為零；不選任何物件仍有一種空選擇。C(5,2) = 10P(5,2) = 20

從 5 個不同物件選 2 個：不計次序 10 種，計次序 20 種。r>n 時均為零；不選任何物件仍有一種空選擇。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：用小型完整列表比較有標籤分配及相同物件。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

從 m 個不同的人中選主席及秘書。求分配數。

m=7m=7
  • 人數及項數為非負整數；須判斷標籤、次序及旋轉是否構成不同結果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
Pm2=m(m−1)P_m^2=m(m-1)
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=7(7−1)=42N=7(7-1)=42

  3. 兩個職位不同，因此次序重要。

所求值為 42。

檢查與易錯點：兩個職位不同，因此次序重要。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

從 m 人選三人委員會，須包含指定的一人。共有多少選法？

m=8m=8
  • 人數及項數為非負整數；須判斷標籤、次序及旋轉是否構成不同結果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
Cm−12C_{m-1}^2
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=C72=21N=C_{7}^2=21

  3. 只須從其餘人中選另外兩位成員。

所求值為 21。

檢查與易錯點：只須從其餘人中選另外兩位成員。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

m 個不同的人排成一列，A、B 必須相鄰。共有多少排法？

m=9m=9
  • 人數及項數為非負整數；須判斷標籤、次序及旋轉是否構成不同結果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
把 A、B 視為一個區塊。
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=2(m−1)!=80640N=2(m-1)!=80640

  3. 把區塊內 AB、BA 的兩種次序乘入。

所求值為 80640。

檢查與易錯點：把區塊內 AB、BA 的兩種次序乘入。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

從 m 個不同的人中選主席及秘書。求分配數。

m=10m=10
  • 人數及項數為非負整數；須判斷標籤、次序及旋轉是否構成不同結果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
Pm2=m(m−1)P_m^2=m(m-1)
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=10(10−1)=90N=10(10-1)=90

  3. 兩個職位不同，因此次序重要。

所求值為 90。

檢查與易錯點：兩個職位不同，因此次序重要。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

從 m 人中選沒有次序的三人委員會。

m=11m=11
  • 人數及項數為非負整數；須判斷標籤、次序及旋轉是否構成不同結果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
Cm3=Pm3/3!C_m^3=P_m^3/3!
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=11(10)(9)/6=165N=11(10)(9)/6=165

  3. 每個委員會曾被計為六種次序。

所求值為 165。

檢查與易錯點：每個委員會曾被計為六種次序。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

m 個不同的人圍圓桌而坐，旋轉視為相同，鏡射視為不同。共有多少坐法？

m=12m=12
  • 人數及項數為非負整數；須判斷標籤、次序及旋轉是否構成不同結果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
N=(m−1)!N=(m-1)!
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=39916800N=39916800

  3. 固定一人以消除旋轉重複。

所求值為 39916800。

檢查與易錯點：固定一人以消除旋轉重複。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求含 r 個相同 A、兩個相同 B 及一個 C 的不同排列數。

r=2r=2
  • 人數及項數為非負整數；須判斷標籤、次序及旋轉是否構成不同結果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
(r+3)!/(r!2!)(r+3)!/(r!2!)
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=5!/(2!2!)=30N=5!/(2!2!)=30

  3. 每組相同字母內部交換不會產生新排列。

所求值為 30。

檢查與易錯點：每組相同字母內部交換不會產生新排列。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求含 r 個相同 A、兩個相同 B 及一個 C 的不同排列數。

r=3r=3
  • 人數及項數為非負整數；須判斷標籤、次序及旋轉是否構成不同結果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
(r+3)!/(r!2!)(r+3)!/(r!2!)
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=6!/(3!2!)=60N=6!/(3!2!)=60

  3. 每組相同字母內部交換不會產生新排列。

所求值為 60。

檢查與易錯點：每組相同字母內部交換不會產生新排列。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

從 m 人選三人委員會，須包含指定的一人。共有多少選法？

m=15m=15
  • 人數及項數為非負整數；須判斷標籤、次序及旋轉是否構成不同結果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
Cm−12C_{m-1}^2
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=C142=91N=C_{14}^2=91

  3. 只須從其餘人中選另外兩位成員。

所求值為 91。

檢查與易錯點：只須從其餘人中選另外兩位成員。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

把 t 個相同球放入3個有標籤的盒，可有空盒。共有多少分法？

t=11t=11
  • 人數及項數為非負整數；須判斷標籤、次序及旋轉是否構成不同結果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
x1+x2+x3=t,xi≥0x_1+x_2+x_3=t,\quad x_i\ge0
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=C132=78N=C_{13}^2=78

  3. 隔板法計算整數分配；有標籤的盒仍須區分。

所求值為 78。

檢查與易錯點：隔板法計算整數分配；有標籤的盒仍須區分。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

m 個不同的人排成一列，A、B 必須相鄰。共有多少排法？

m=6m=6
  • 人數及項數為非負整數；須判斷標籤、次序及旋轉是否構成不同結果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
把 A、B 視為一個區塊。
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=2(m−1)!=240N=2(m-1)!=240

  3. 把區塊內 AB、BA 的兩種次序乘入。

所求值為 240。

檢查與易錯點：把區塊內 AB、BA 的兩種次序乘入。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

把 t 個相同球放入3個有標籤的盒，可有空盒。共有多少分法？

t=13t=13
  • 人數及項數為非負整數；須判斷標籤、次序及旋轉是否構成不同結果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
x1+x2+x3=t,xi≥0x_1+x_2+x_3=t,\quad x_i\ge0
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=C152=105N=C_{15}^2=105

  3. 隔板法計算整數分配；有標籤的盒仍須區分。

所求值為 105。

檢查與易錯點：隔板法計算整數分配；有標籤的盒仍須區分。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

m 個不同的人排成一列，A、B 必須相鄰。共有多少排法？

m=8m=8
  • 人數及項數為非負整數；須判斷標籤、次序及旋轉是否構成不同結果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
把 A、B 視為一個區塊。
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=2(m−1)!=10080N=2(m-1)!=10080

  3. 把區塊內 AB、BA 的兩種次序乘入。

所求值為 10080。

檢查與易錯點：把區塊內 AB、BA 的兩種次序乘入。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 區分有序選取、無序集合及排列中的對稱性。
    • 「排列與組合」中哪一個條件不可缺少？
    • 選委員會為甚麼與選主席及秘書不同？

    板書重點

    • 定義關係：區分有序選取、無序集合及排列中的對稱性。
      Pnr=n!/(n−r)!;Cnr=n!/[r!(n−r)!]P_n^r=n!/(n-r)!;\quad C_n^r=n!/[r!(n-r)!]
    • 適用條件：人數及項數為非負整數；須判斷標籤、次序及旋轉是否構成不同結果。

    預期想法

    • 只有每個選取集合均被計為 r! 種次序時，才可除以 r!。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

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