Kenneth Cheng數學建模
← 高中數學研習室

學習・解釋・訂正

分類加法與分步乘法計數原理

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高三選擇性必修 第三册(A版).pdf · 6.1 · PDF 7 / 印刷頁 2

專題 01

分類加法與分步乘法計數原理

對互斥分類及連續選擇作計數，避免重複或漏算。

學完之後，你能解釋

  • 對互斥分類及連續選擇作計數，避免重複或漏算。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

定義關係

對互斥分類及連續選擇作計數，避免重複或漏算。

N=∑NiorN=∏NiN=\sum N_i\quad\text{or}\quad N=\prod N_i

適用條件

加法要求分類互斥；步驟數須對各分支成立，否則須分開計算。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：何時應把兩個數量相加，而不是相乘？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

從 5 個不同物件選 2 個：不計次序 10 種，計次序 20 種。r>n 時均為零；不選任何物件仍有一種空選擇。C(5,2) = 10P(5,2) = 20

從 5 個不同物件選 2 個：不計次序 10 種，計次序 20 種。r>n 時均為零；不選任何物件仍有一種空選擇。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：繪製第二步選擇數不相等的分支樹。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

選一本書：有 t 本數學及3本歷史，沒有重複。共有多少選擇？

t=2t=2
  • 加法要求分類互斥；步驟數須對各分支成立，否則須分開計算。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
N=t+3N=t+3
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=2+3=5N=2+3=5

  3. 兩個學科分類是互斥的替代選擇。

所求值為 5。

檢查與易錯點：兩個學科分類是互斥的替代選擇。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

第一步有 t 個選擇各接2條路，另有3個選擇各接5條路。求總路徑數。

t=3t=3
  • 加法要求分類互斥；步驟數須對各分支成立，否則須分開計算。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
N=2t+3⋅5N=2t+3\cdot5
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=6+15=21N=6+15=21

  3. 分支大小不相等，須把各分支乘積相加。

所求值為 21。

檢查與易錯點：分支大小不相等，須把各分支乘積相加。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

用0至t−1組成不重複數字的兩位數，2≤t≤9。共有多少？

t=6t=6
  • 加法要求分類互斥；步驟數須對各分支成立，否則須分開計算。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
(t−1)(t−1)(t-1)(t-1)
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    first choices=5\text{first choices}=5

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    second choices=5\text{second choices}=5

  4. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=25N=25

  5. 首位不能為零；第二位可為零，但不能重複首位。

所求值為 25。

檢查與易錯點：首位不能為零；第二位可為零，但不能重複首位。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

選一本書：有 t 本數學及3本歷史，沒有重複。共有多少選擇？

t=5t=5
  • 加法要求分類互斥；步驟數須對各分支成立，否則須分開計算。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
N=t+3N=t+3
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=5+3=8N=5+3=8

  3. 兩個學科分類是互斥的替代選擇。

所求值為 8。

檢查與易錯點：兩個學科分類是互斥的替代選擇。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

從 t 件上衣及4條褲，各選一件。共有多少套搭配？

t=6t=6
  • 加法要求分類互斥；步驟數須對各分支成立，否則須分開計算。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
N=t⋅4N=t\cdot4
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=24N=24

  3. 每件上衣都容許四種褲子的選擇。

所求值為 24。

檢查與易錯點：每件上衣都容許四種褲子的選擇。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

代碼由 t 個字母之一及其後一個0–9數字組成。共有多少代碼？

t=7t=7
  • 加法要求分類互斥；步驟數須對各分支成立，否則須分開計算。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
N=t⋅10N=t\cdot10
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=70N=70

  3. 此代碼第二個符號沒有首位數字不可為零的限制。

所求值為 70。

檢查與易錯點：此代碼第二個符號沒有首位數字不可為零的限制。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

t+8 名學生中，t 人學美術、8人學音樂、3人兩者都學。多少人至少學一科？

t=8t=8
  • 加法要求分類互斥；步驟數須對各分支成立，否則須分開計算。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=8+8−3=13N=8+8-3=13

  3. 交集被計入兩次，所以減去一次。

所求值為 13。

檢查與易錯點：交集被計入兩次，所以減去一次。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

t+8 名學生中，t 人學美術、8人學音樂、3人兩者都學。多少人至少學一科？

t=9t=9
  • 加法要求分類互斥；步驟數須對各分支成立，否則須分開計算。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=9+8−3=14N=9+8-3=14

  3. 交集被計入兩次，所以減去一次。

所求值為 14。

檢查與易錯點：交集被計入兩次，所以減去一次。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

第一步有 t 個選擇各接2條路，另有3個選擇各接5條路。求總路徑數。

t=10t=10
  • 加法要求分類互斥；步驟數須對各分支成立，否則須分開計算。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
N=2t+3⋅5N=2t+3\cdot5
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=20+15=35N=20+15=35

  3. 分支大小不相等，須把各分支乘積相加。

所求值為 35。

檢查與易錯點：分支大小不相等，須把各分支乘積相加。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

三位密碼使用 t 個符號，可重複。排除三位完全相同的密碼後，有多少？

t=11t=11
  • 加法要求分類互斥；步驟數須對各分支成立，否則須分開計算。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
N=t3−tN=t^3-t
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=1331−11=1320N=1331-11=1320

  3. 每個符號各有一個全相同密碼，不是總共只有一個。

所求值為 1320。

檢查與易錯點：每個符號各有一個全相同密碼，不是總共只有一個。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

用0至t−1組成不重複數字的兩位數，2≤t≤9。共有多少？

t=7t=7
  • 加法要求分類互斥；步驟數須對各分支成立，否則須分開計算。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
(t−1)(t−1)(t-1)(t-1)
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    first choices=6\text{first choices}=6

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    second choices=6\text{second choices}=6

  4. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=36N=36

  5. 首位不能為零；第二位可為零，但不能重複首位。

所求值為 36。

檢查與易錯點：首位不能為零；第二位可為零，但不能重複首位。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

三位密碼使用 t 個符號，可重複。排除三位完全相同的密碼後，有多少？

t=13t=13
  • 加法要求分類互斥；步驟數須對各分支成立，否則須分開計算。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
N=t3−tN=t^3-t
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=2197−13=2184N=2197-13=2184

  3. 每個符號各有一個全相同密碼，不是總共只有一個。

所求值為 2184。

檢查與易錯點：每個符號各有一個全相同密碼，不是總共只有一個。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

用0至t−1組成不重複數字的兩位數，2≤t≤9。共有多少？

t=2t=2
  • 加法要求分類互斥；步驟數須對各分支成立，否則須分開計算。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
(t−1)(t−1)(t-1)(t-1)
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    first choices=1\text{first choices}=1

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    second choices=1\text{second choices}=1

  4. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N=1N=1

  5. 首位不能為零；第二位可為零，但不能重複首位。

所求值為 1。

檢查與易錯點：首位不能為零；第二位可為零，但不能重複首位。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 對互斥分類及連續選擇作計數，避免重複或漏算。
    • 「分類加法與分步乘法計數原理」中哪一個條件不可缺少？
    • 何時應把兩個數量相加，而不是相乘？

    板書重點

    • 定義關係：對互斥分類及連續選擇作計數，避免重複或漏算。
      N=∑NiorN=∏NiN=\sum N_i\quad\text{or}\quad N=\prod N_i
    • 適用條件：加法要求分類互斥；步驟數須對各分支成立，否則須分開計算。

    預期想法

    • 描述了兩種選擇，不代表必定相乘。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

    教材與來源說明 ↗