學習・解釋・訂正

對數

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修第一册(A版).pdf · 4.3 · PDF 129 / 印刷頁 122

先重溫：指數函數

專題 01

對數

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握對數。

學完之後，你能解釋

解讀及運用對數，並檢查定義域。
連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

逆運算定義

對數是使底數產生指定正真數的指數。

\log_a b=c\iff a^c=b

運算法則

乘積變和、商變差；真數須為正。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「對數」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

指數圖像：水平平移 0，垂直平移 0；自變量改成 x−0。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

計算對數。

\log_24

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。

提示 2

問底數的哪次冪得到真數。

完整解答

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。
計算或化簡此關係式。
$2^{2}=4\Rightarrow\log_24=2$
對數本身就是指數。

所求值為 2。

檢查與易錯點：對數本身就是指數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

用乘積法則化簡。

\log_24+\log_2 8

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。

提示 2

對數相加對應正真數相乘。

完整解答

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。
計算或化簡此關係式。
$\log_2(4\cdot8)=\log_232=5$
並不對應真數相加。

所求值為 5。

檢查與易錯點：並不對應真數相加。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

解對數方程。

\log_2(x+2)=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。

提示 2

轉成指數方程。

完整解答

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。
計算或化簡此關係式。
$x+2=8\Rightarrow x=6;\quad x+2=8>0$
把結果代回真數為正的限制。

所求值為 6。

檢查與易錯點：把結果代回真數為正的限制。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

計算對數。

\log_28

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。

提示 2

問底數的哪次冪得到真數。

完整解答

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。
計算或化簡此關係式。
$2^{3}=8\Rightarrow\log_28=3$
對數本身就是指數。

所求值為 3。

檢查與易錯點：對數本身就是指數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

用乘積法則化簡。

\log_28+\log_2 8

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。

提示 2

對數相加對應正真數相乘。

完整解答

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。
計算或化簡此關係式。
$\log_2(8\cdot8)=\log_264=6$
並不對應真數相加。

所求值為 6。

檢查與易錯點：並不對應真數相加。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

用換底公式計算。

\log_{8}64

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。

提示 2

分子分母均換成底二。

完整解答

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。
計算或化簡此關係式。
$\frac{\log_264}{\log_28}=\frac{6}{3}=2$
換底要求分子分母使用相同新底數。

所求值為 2。

檢查與易錯點：換底要求分子分母使用相同新底數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求實數定義域。

\log_3(x-4)

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。

提示 2

真數須嚴格為正。

完整解答

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。
計算或化簡此關係式。
$x-4>0$
零不能作對數真數。

x>4。

檢查與易錯點：零不能作對數真數。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

用正數反例否定所聲稱的加法法則。

\log_2(a+b)=\log_2a+\log_2b

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。

提示 2

正確法則在對數內使用乘積。

完整解答

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。
計算或化簡此關係式。
$\log_2(1+1)=1\ne0=\log_2 1+\log_2 1$
對數不對加法作分配。

取 a=b=1：左邊為 1，右邊為 0。

檢查與易錯點：對數不對加法作分配。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

計算底數小於一的對數。

\log_{1/3}9

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。

提示 2

負指數把小底數變成大數值。

完整解答

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。
計算或化簡此關係式。
$(1/3)^{-2}=9$
正真數可以有負對數。

所求值為 -2。

檢查與易錯點：正真數可以有負對數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

解對數方程。

\log_2(x+3)=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。

提示 2

轉成指數方程。

完整解答

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。
計算或化簡此關係式。
$x+3=8\Rightarrow x=5;\quad x+3=8>0$
把結果代回真數為正的限制。

所求值為 5。

檢查與易錯點：把結果代回真數為正的限制。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

計算對數。

\log_216

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。

提示 2

問底數的哪次冪得到真數。

完整解答

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。
計算或化簡此關係式。
$2^{4}=16\Rightarrow\log_216=4$
對數本身就是指數。

所求值為 4。

檢查與易錯點：對數本身就是指數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

用乘積法則化簡。

\log_216+\log_2 8

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。

提示 2

對數相加對應正真數相乘。

完整解答

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。
計算或化簡此關係式。
$\log_2(16\cdot8)=\log_2128=7$
並不對應真數相加。

所求值為 7。

檢查與易錯點：並不對應真數相加。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

用換底公式計算。

\log_{16}256

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。

提示 2

分子分母均換成底二。

完整解答

把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。
計算或化簡此關係式。
$\frac{\log_2256}{\log_216}=\frac{8}{4}=2$
換底要求分子分母使用相同新底數。

所求值為 2。

檢查與易錯點：換底要求分子分母使用相同新底數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

使用「對數」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
改變一項假設後，原結論還成立嗎？

板書重點

解讀及運用對數，並檢查定義域。
逆運算定義：對數是使底數產生指定正真數的指數。
$\log_a b=c\iff a^c=b$
運算法則：乘積變和、商變差；真數須為正。
總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

預期想法

預期理由：對數是使底數產生指定正真數的指數。
預期理由：乘積變和、商變差；真數須為正。
預期修正：和的對數不能拆成對數之和。

評核清單

1：辨識已知條件及所求。
1：選取合適定義、表示或方法。
1：推理連貫且正確。
1：檢驗條件並解釋結果。