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學習・解釋・訂正

多項式除法及部分分式

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

2027 JM01 考試大綱 · 4. Polynomial and rational fractions · PDF 2 / 印刷頁 2

先重溫：函數的概念及其表示

專題 01

多項式除法及部分分式

多項式除法後，按各分母因子選取部分分式的分子。

學完之後，你能解釋

  • 多項式除法後，按各分母因子選取部分分式的分子。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

模型或定義

多項式除法後，按各分母因子選取部分分式的分子。

R(x)=Q(x)+A/(x−a)+B/(x−b)R(x)=Q(x)+A/(x-a)+B/(x-b)

適用條件

保留原式所有排除根；假分式先作除法，重因子須包括每個次方。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：約去的因子仍會造成圖形上的缺點嗎？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

兩者相差 2ab=4；恰在 ab=0 時相等。(a+b)² = 9a²+b² = 5

兩者相差 2ab=4；恰在 ab=0 時相等。

解釋：比較兩個符合條件的情況，利用所述模型解釋結果差異。

遷移：比較有理式相等與原定義域上的函數相等。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求 x²+t 除以 x−2 的餘式。

t=2t=2
  • 保留原式所有排除根；假分式先作除法，重因子須包括每個次方。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
R=f(2)R=f(2)
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    R=22+2=6R=2^2+2=6

  3. 餘式定理使用除式的零點。

所求值為 6。

檢查與易錯點：餘式定理使用除式的零點。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

把含重複分母因子的有理式分解。

(x+3)/x2(x+3)/x^2
  • 保留原式所有排除根；假分式先作除法，重因子須包括每個次方。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
A/x+B/x2A/x+B/x^2
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Ax+B=x+3⇒A=1, B=3Ax+B=x+3\Rightarrow A=1,\ B=3

  3. 須同時保留 x、x² 的分式項；漏掉其中一項便不能配合分子。

所求關係或結論如下。

1/x+3/x21/x+3/x^2

檢查與易錯點：須同時保留 x、x² 的分式項；漏掉其中一項便不能配合分子。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

說明 f、g 作為函數有何差別。

f(x)=(x2−16)/(x−4),g(x)=x+4f(x)=(x^2-16)/(x-4),\quad g(x)=x+4
  • 保留原式所有排除根；假分式先作除法，重因子須包括每個次方。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
x2−t2=(x−t)(x+t)x^2-t^2=(x-t)(x+t)
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f(x)=x+4(x≠4)f(x)=x+4\quad(x\ne4)

  3. 化簡式在共同定義域內相等，但不能填補 f 的缺點。

所求關係或結論如下。

f(x)=g(x) (x≠4);f(4) undefinedf(x)=g(x)\ (x\ne4);\quad f(4)\text{ undefined}

檢查與易錯點：化簡式在共同定義域內相等，但不能填補 f 的缺點。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求 x²+t 除以 x−2 的餘式。

t=5t=5
  • 保留原式所有排除根；假分式先作除法，重因子須包括每個次方。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
R=f(2)R=f(2)
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    R=22+5=9R=2^2+5=9

  3. 餘式定理使用除式的零點。

所求值為 9。

檢查與易錯點：餘式定理使用除式的零點。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

把 x²+t x+1 除以 x。

t=6t=6
  • 保留原式所有排除根；假分式先作除法，重因子須包括每個次方。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
把每項分別除以 x。
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (x2+6x+1)/x=x+6+1/x(x^2+6x+1)/x=x+6+1/x

  3. 原定義域排除 x=0。

所求關係或結論如下。

x+6+1/xx+6+1/x

檢查與易錯點：原定義域排除 x=0。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

在 t/[x(x+1)]=A/x+B/(x+1) 中，求 A。

t=7t=7
  • 保留原式所有排除根；假分式先作除法，重因子須包括每個次方。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
t=A(x+1)+Bxt=A(x+1)+Bx
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=0⇒A=7x=0\Rightarrow A=7

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    B=−7B=-7

  4. 乘去分母後比較多項式恆等式；有理式恆等式仍排除0及−1。

所求值為 7。

檢查與易錯點：乘去分母後比較多項式恆等式；有理式恆等式仍排除0及−1。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

在所列部分分式中，求 A。

t=8,(x+8)/[(x−1)(x+1)]t=8,\quad (x+8)/[(x-1)(x+1)]
  • 保留原式所有排除根；假分式先作除法，重因子須包括每個次方。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
x+t=A(x+1)+B(x−1)x+t=A(x+1)+B(x-1)
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=1⇒1+8=2Ax=1\Rightarrow 1+8=2A

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    A=4.5A=4.5

  4. 即使原分式排除 x=1，仍可在已乘去分母的多項式恆等式代入該值。

所求值為 4.5。

檢查與易錯點：即使原分式排除 x=1，仍可在已乘去分母的多項式恆等式代入該值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

在所列部分分式中，求 A。

t=9,(x+9)/[(x−1)(x+1)]t=9,\quad (x+9)/[(x-1)(x+1)]
  • 保留原式所有排除根；假分式先作除法，重因子須包括每個次方。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
x+t=A(x+1)+B(x−1)x+t=A(x+1)+B(x-1)
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=1⇒1+9=2Ax=1\Rightarrow 1+9=2A

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    A=5A=5

  4. 即使原分式排除 x=1，仍可在已乘去分母的多項式恆等式代入該值。

所求值為 5。

檢查與易錯點：即使原分式排除 x=1，仍可在已乘去分母的多項式恆等式代入該值。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

把含重複分母因子的有理式分解。

(x+10)/x2(x+10)/x^2
  • 保留原式所有排除根；假分式先作除法，重因子須包括每個次方。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
A/x+B/x2A/x+B/x^2
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Ax+B=x+10⇒A=1, B=10Ax+B=x+10\Rightarrow A=1,\ B=10

  3. 須同時保留 x、x² 的分式項；漏掉其中一項便不能配合分子。

所求關係或結論如下。

1/x+10/x21/x+10/x^2

檢查與易錯點：須同時保留 x、x² 的分式項；漏掉其中一項便不能配合分子。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求商及餘式，再表示此假分式。

(x2+11)/(x−1)(x^2+11)/(x-1)
  • 保留原式所有排除根；假分式先作除法，重因子須包括每個次方。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
x2+t=(x−1)(x+1)+(t+1)x^2+t=(x-1)(x+1)+(t+1)
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (x−1)(x+1)=x2−1(x-1)(x+1)=x^2-1

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    R=12R=12

  4. 假分式分解前須保留多項式部分。

所求關係或結論如下。

x+1+12/(x−1)x+1+12/(x-1)

檢查與易錯點：假分式分解前須保留多項式部分。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

說明 f、g 作為函數有何差別。

f(x)=(x2−144)/(x−12),g(x)=x+12f(x)=(x^2-144)/(x-12),\quad g(x)=x+12
  • 保留原式所有排除根；假分式先作除法，重因子須包括每個次方。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
x2−t2=(x−t)(x+t)x^2-t^2=(x-t)(x+t)
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f(x)=x+12(x≠12)f(x)=x+12\quad(x\ne12)

  3. 化簡式在共同定義域內相等，但不能填補 f 的缺點。

所求關係或結論如下。

f(x)=g(x) (x≠12);f(12) undefinedf(x)=g(x)\ (x\ne12);\quad f(12)\text{ undefined}

檢查與易錯點：化簡式在共同定義域內相等，但不能填補 f 的缺點。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求商及餘式，再表示此假分式。

(x2+13)/(x−1)(x^2+13)/(x-1)
  • 保留原式所有排除根；假分式先作除法，重因子須包括每個次方。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
x2+t=(x−1)(x+1)+(t+1)x^2+t=(x-1)(x+1)+(t+1)
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (x−1)(x+1)=x2−1(x-1)(x+1)=x^2-1

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    R=14R=14

  4. 假分式分解前須保留多項式部分。

所求關係或結論如下。

x+1+14/(x−1)x+1+14/(x-1)

檢查與易錯點：假分式分解前須保留多項式部分。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

說明 f、g 作為函數有何差別。

f(x)=(x2−196)/(x−14),g(x)=x+14f(x)=(x^2-196)/(x-14),\quad g(x)=x+14
  • 保留原式所有排除根；假分式先作除法，重因子須包括每個次方。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
x2−t2=(x−t)(x+t)x^2-t^2=(x-t)(x+t)
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    f(x)=x+14(x≠14)f(x)=x+14\quad(x\ne14)

  3. 化簡式在共同定義域內相等，但不能填補 f 的缺點。

所求關係或結論如下。

f(x)=g(x) (x≠14);f(14) undefinedf(x)=g(x)\ (x\ne14);\quad f(14)\text{ undefined}

檢查與易錯點：化簡式在共同定義域內相等，但不能填補 f 的缺點。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

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    教師備課與評核

    提問順序

    • 多項式除法後，按各分母因子選取部分分式的分子。
    • 「多項式除法及部分分式」中哪一個條件不可缺少？
    • 約去的因子仍會造成圖形上的缺點嗎？

    板書重點

    • 模型或定義：多項式除法後，按各分母因子選取部分分式的分子。
      R(x)=Q(x)+A/(x−a)+B/(x−b)R(x)=Q(x)+A/(x-a)+B/(x-b)
    • 適用條件：保留原式所有排除根；假分式先作除法，重因子須包括每個次方。

    預期想法

    • 約去因子不能把被排除的點加回原定義域。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

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