Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

頻率與概率

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修 第二册(A版).pdf · 10.3 · PDF 261 / 印刷頁 254

先重溫：事件的相互獨立性

專題 01

頻率與概率

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握頻率與概率。

學完之後，你能解釋

  • 運用頻率與概率，作有理據的結論。
  • 連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
  • 能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

相對頻率

觀察比例在重複試驗中估計模型概率。

有限樣本不確定性

長期趨勢不強迫每個有限樣本精確一致。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「頻率與概率」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

二項模型：固定 n=5、試驗獨立、共同 p=0.5。E(X)=2.5，Var(X)=1.25；長條顯示精確概率。

二項模型：固定 n=5、試驗獨立、共同 p=0.5。E(X)=2.5，Var(X)=1.25；長條顯示精確概率。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

事件在10k次試驗中發生3k次。求相對頻率。

k=2k=2
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。
提示 2
發生次數除以試驗次數。
完整解答

  1. 區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。

  2. 計算或化簡此關係式。

    f=6/20=0.3f=6/20=0.3

  3. 觀察頻率是數據，不是未來結果的精確保證。

所求值為 0.3。

檢查與易錯點：觀察頻率是數據，不是未來結果的精確保證。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

兩批分別5k次中2k成功、10k次中3k成功。求合併相對頻率。

k=2k=2
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。
提示 2
先合併成功數及總試驗數再相除。
完整解答

  1. 區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。

  2. 計算或化簡此關係式。

    f=(4+6)/(10+20)=1/3f=(4+6)/(10+20)=1/3

  3. 直接平均兩批百分率會忽略不同樣本量。

所求值為 0.33333333。

檢查與易錯點：直接平均兩批百分率會忽略不同樣本量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

k次試驗中事件從未發生，其真正概率必為零嗎？說明。

k=2k=2
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。
提示 2
區分有限觀察及普遍模型聲稱。
完整解答

  1. 區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。

  2. 作為反例，選取k次獨立伯努利試驗，每次事件概率同為0<p<1。

  3. 計算或化簡此關係式。

    P(zero occurrences)=(1−p)k>0(0<p<1)P(\text{zero occurrences})=(1-p)^k>0\quad(0<p<1)

  4. 只憑有限樣本未出現，不能確定事件不可能。

不必。正概率事件仍可在有限樣本中沒有出現。

檢查與易錯點：只憑有限樣本未出現，不能確定事件不可能。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

事件在10k次試驗中發生3k次。求相對頻率。

k=3k=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。
提示 2
發生次數除以試驗次數。
完整解答

  1. 區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。

  2. 計算或化簡此關係式。

    f=9/30=0.3f=9/30=0.3

  3. 觀察頻率是數據，不是未來結果的精確保證。

所求值為 0.3。

檢查與易錯點：觀察頻率是數據，不是未來結果的精確保證。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

兩批分別5k次中2k成功、10k次中3k成功。求合併相對頻率。

k=3k=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。
提示 2
先合併成功數及總試驗數再相除。
完整解答

  1. 區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。

  2. 計算或化簡此關係式。

    f=(6+9)/(15+30)=1/3f=(6+9)/(15+30)=1/3

  3. 直接平均兩批百分率會忽略不同樣本量。

所求值為 0.33333333。

檢查與易錯點：直接平均兩批百分率會忽略不同樣本量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

模型 p=1/4；20k次獨立試驗，求預期發生次數。

k=3k=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。
提示 2
預期次數為試驗數乘模型概率。
完整解答

  1. 區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。

  2. 計算或化簡此關係式。

    E(N)=np=60/4=15E(N)=np=60/4=15

  3. 實際整數次數不必等於期望。

所求值為 15。

檢查與易錯點：實際整數次數不必等於期望。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

獨立公平硬幣連續k次正面後，下次正面概率是多少？

k=3k=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。
提示 2
獨立性保持下次概率不變。
完整解答

  1. 區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。

  2. 計算或化簡此關係式。

    P(Hnext∣H1,…,Hk)=1/2P(H_{next}|H_1,…,H_k)=1/2

  3. 硬幣不會補償先前結果。

所求值為 0.5。

檢查與易錯點：硬幣不會補償先前結果。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

模擬從1至k標號作10k次等可能選取。標號1的模型概率是多少？

k=3k=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。
提示 2
分清每次模型及模擬次數。
完整解答

  1. 區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。

  2. 計算或化簡此關係式。

    p=1/3p=1/3

  3. 增加模擬改善經驗證據，不改變題定概率。

所求值為 0.33333333。

檢查與易錯點：增加模擬改善經驗證據，不改變題定概率。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

程式重用相同種子的偽隨機輸出。每次重跑都提供新的獨立證據嗎？

n=30n=30
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。
提示 2
檢查數列是否實際改變。
完整解答

  1. 區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。

  2. 計算或化簡此關係式。

    same seed⇒same deterministic sequence\text{same seed}\Rightarrow\text{same deterministic sequence}

  3. 可重現有價值，但不會增加獨立運行數。

否；相同數列重現只是重複同一批模擬觀察。

檢查與易錯點：可重現有價值，但不會增加獨立運行數。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

k次試驗中事件從未發生，其真正概率必為零嗎？說明。

k=3k=3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。
提示 2
區分有限觀察及普遍模型聲稱。
完整解答

  1. 區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。

  2. 作為反例，選取k次獨立伯努利試驗，每次事件概率同為0<p<1。

  3. 計算或化簡此關係式。

    P(zero occurrences)=(1−p)k>0(0<p<1)P(\text{zero occurrences})=(1-p)^k>0\quad(0<p<1)

  4. 只憑有限樣本未出現，不能確定事件不可能。

不必。正概率事件仍可在有限樣本中沒有出現。

檢查與易錯點：只憑有限樣本未出現，不能確定事件不可能。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

事件在10k次試驗中發生3k次。求相對頻率。

k=4k=4
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。
提示 2
發生次數除以試驗次數。
完整解答

  1. 區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。

  2. 計算或化簡此關係式。

    f=12/40=0.3f=12/40=0.3

  3. 觀察頻率是數據，不是未來結果的精確保證。

所求值為 0.3。

檢查與易錯點：觀察頻率是數據，不是未來結果的精確保證。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

兩批分別5k次中2k成功、10k次中3k成功。求合併相對頻率。

k=4k=4
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。
提示 2
先合併成功數及總試驗數再相除。
完整解答

  1. 區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。

  2. 計算或化簡此關係式。

    f=(8+12)/(20+40)=1/3f=(8+12)/(20+40)=1/3

  3. 直接平均兩批百分率會忽略不同樣本量。

所求值為 0.33333333。

檢查與易錯點：直接平均兩批百分率會忽略不同樣本量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

模型 p=1/4；20k次獨立試驗，求預期發生次數。

k=4k=4
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。
提示 2
預期次數為試驗數乘模型概率。
完整解答

  1. 區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。

  2. 計算或化簡此關係式。

    E(N)=np=80/4=20E(N)=np=80/4=20

  3. 實際整數次數不必等於期望。

所求值為 20。

檢查與易錯點：實際整數次數不必等於期望。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 使用「頻率與概率」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
    • 哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
    • 改變一項假設後，原結論還成立嗎？

    板書重點

    • 運用頻率與概率，作有理據的結論。
    • 相對頻率：觀察比例在重複試驗中估計模型概率。
    • 有限樣本不確定性：長期趨勢不強迫每個有限樣本精確一致。
    • 總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

    預期想法

    • 預期理由：觀察比例在重複試驗中估計模型概率。
    • 預期理由：長期趨勢不強迫每個有限樣本精確一致。
    • 預期修正：先前獨立結果不會使下次試驗作補償。

    評核清單

    • 1：辨識已知條件及所求。
    • 1：選取合適定義、表示或方法。
    • 1：推理連貫且正確。
    • 1：檢驗條件並解釋結果。

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