← 高中數學研習室

學習・解釋・訂正

正整數 n 中，cₙ=2/aₙ、aₙ=2·3ⁿ，求使 −5cₙ²+cₙ 最大的 n。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

返回課節／試卷 ↗

專題 01

2023 JM01

連續最優值不一定能由數列取到。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 鞏固#獨立練習

正整數 n 中，cₙ=2/aₙ、aₙ=2·3ⁿ，求使 −5cₙ²+cₙ 最大的 n。

官方試卷 · jm01-2023 · II.3(c) · PDF 4

官方原卷及參考答案 ↗ · 參考答案 PDF 頁 6

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

對 cₙ 配方。

提示 2

可取值是離散的 3⁻ⁿ。

完整解答

連續情況極大點為 c=1/10。
$-5c^2+c=1/20-5(c-1/10)^2$
遞減數列 1/3、1/9、1/27、… 中，1/9 最接近 1/10。
$|1/9-1/10|=1/90<1/10-1/27,\quad n=2,\ f(2)=4/81$

n=2；最大值為 4/81。

檢查與易錯點：連續最優值不一定能由數列取到。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
連續情況極大點為 c=1/10。
$-5c^2+c=1/20-5(c-1/10)^2$
遞減數列 1/3、1/9、1/27、… 中，1/9 最接近 1/10。
$|1/9-1/10|=1/90<1/10-1/27,\quad n=2,\ f(2)=4/81$

先思考，待同學準備好再展開提示。