Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

二項式定理

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高三選擇性必修 第三册(A版).pdf · 6.3 · PDF 34 / 印刷頁 29

先重溫：排列與組合

專題 01

二項式定理

用通項找出係數、常數項及係數和。

學完之後，你能解釋

  • 用通項找出係數、常數項及係數和。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

定義關係

用通項找出係數、常數項及係數和。

(a+b)n=∑r=0nCnran−rbr(a+b)^n=\sum_{r=0}^nC_n^ra^{n-r}b^r

適用條件

指數 n 為非負整數；第幾項為 r+1，不是 r。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：第二項為負，是否所有展開係數都為負？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

從 5 個不同物件選 2 個：不計次序 10 種，計次序 20 種。r>n 時均為零；不選任何物件仍有一種空選擇。C(5,2) = 10P(5,2) = 20

從 5 個不同物件選 2 個：不計次序 10 種，計次序 20 種。r>n 時均為零；不選任何物件仍有一種空選擇。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：用所選下標的奇偶解釋正負模式。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求 (1+x)^m 中 x 的係數。

m=6m=6
  • 指數 n 為非負整數；第幾項為 r+1，不是 r。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
Cm1=mC_m^1=m
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    [x](1+x)6=6[x](1+x)^{6}=6

  3. 從恰好一個因子選出 x 得到此係數。

所求值為 6。

檢查與易錯點：從恰好一個因子選出 x 得到此係數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求 (x+1/x)^2m 的常數項。

m=7m=7
  • 指數 n 為非負整數；第幾項為 r+1，不是 r。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
x2m−rx−r=x2m−2rx^{2m-r}x^{-r}=x^{2m-2r}
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    14−2r=0⇒r=714-2r=0\Rightarrow r=7

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    T=C147=3432T=C_{14}^{7}=3432

  4. 先令指數為零找出常數項，再計算係數。

所求值為 3432。

檢查與易錯點：先令指數為零找出常數項，再計算係數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

求 (1+10)^m 除以100的餘數。

m=8m=8
  • 指數 n 為非負整數；第幾項為 r+1，不是 r。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
r≥2 的各項均含因子100。
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    118≡1+10(8)(mod100)11^{8}\equiv1+10(8)\pmod{100}

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    R=81R=81

  4. 保留式子仍可大於99，須再取除以100的餘數。

所求值為 81。

檢查與易錯點：保留式子仍可大於99，須再取除以100的餘數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求 (1+x)^m 中 x 的係數。

m=9m=9
  • 指數 n 為非負整數；第幾項為 r+1，不是 r。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
Cm1=mC_m^1=m
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    [x](1+x)9=9[x](1+x)^{9}=9

  3. 從恰好一個因子選出 x 得到此係數。

所求值為 9。

檢查與易錯點：從恰好一個因子選出 x 得到此係數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求 (1+x)^m 中 x² 的係數。

m=10m=10
  • 指數 n 為非負整數；第幾項為 r+1，不是 r。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
Cm2=m(m−1)/2C_m^2=m(m-1)/2
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    [x2]=45[x^2]=45

  3. 所選兩個因子的無序組合決定此項。

所求值為 45。

檢查與易錯點：所選兩個因子的無序組合決定此項。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求 (2+x)^m 的所有係數之和。

m=11m=11
  • 指數 n 為非負整數；第幾項為 r+1，不是 r。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
代入 x=1。
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (2+1)11=177147(2+1)^{11}=177147

  3. 完整係數和用 x=1；只有兩個基本係數都是一時才為2^m。

所求值為 177147。

檢查與易錯點：完整係數和用 x=1；只有兩個基本係數都是一時才為2^m。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求 (1−2x)^m 中 x² 的係數。

m=12m=12
  • 指數 n 為非負整數；第幾項為 r+1，不是 r。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
Cm2(−2)2C_m^2(-2)^2
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    [x2]=4C122=264[x^2]=4C_{12}^2=264

  3. 選取下標為偶數，因此此係數為正。

所求值為 264。

檢查與易錯點：選取下標為偶數，因此此係數為正。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求 (1−2x)^m 中 x² 的係數。

m=13m=13
  • 指數 n 為非負整數；第幾項為 r+1，不是 r。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
Cm2(−2)2C_m^2(-2)^2
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    [x2]=4C132=312[x^2]=4C_{13}^2=312

  3. 選取下標為偶數，因此此係數為正。

所求值為 312。

檢查與易錯點：選取下標為偶數，因此此係數為正。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求 (x+1/x)^2m 的常數項。

m=14m=14
  • 指數 n 為非負整數；第幾項為 r+1，不是 r。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
使用此中間關係式。
x2m−rx−r=x2m−2rx^{2m-r}x^{-r}=x^{2m-2r}
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    28−2r=0⇒r=1428-2r=0\Rightarrow r=14

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    T=C2814=40116600T=C_{28}^{14}=40116600

  4. 先令指數為零找出常數項，再計算係數。

所求值為 40116600。

檢查與易錯點：先令指數為零找出常數項，再計算係數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

m≥1 時，求二項式係數的交替和。

∑r=04(−1)rC4r\sum_{r=0}^{4}(-1)^rC_{4}^r
  • 指數 n 為非負整數；第幾項為 r+1，不是 r。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
在 (1+x)^m 中代入 x=−1。
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (1−1)4=0(1-1)^{4}=0

  3. 指數為正，因此此代入沒有歧義。

所求值為 0。

檢查與易錯點：指數為正，因此此代入沒有歧義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

求 (1+10)^m 除以100的餘數。

m=5m=5
  • 指數 n 為非負整數；第幾項為 r+1，不是 r。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
r≥2 的各項均含因子100。
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    115≡1+10(5)(mod100)11^{5}\equiv1+10(5)\pmod{100}

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    R=51R=51

  4. 保留式子仍可大於99，須再取除以100的餘數。

所求值為 51。

檢查與易錯點：保留式子仍可大於99，須再取除以100的餘數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

m≥1 時，求二項式係數的交替和。

∑r=06(−1)rC6r\sum_{r=0}^{6}(-1)^rC_{6}^r
  • 指數 n 為非負整數；第幾項為 r+1，不是 r。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
在 (1+x)^m 中代入 x=−1。
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    (1−1)6=0(1-1)^{6}=0

  3. 指數為正，因此此代入沒有歧義。

所求值為 0。

檢查與易錯點：指數為正，因此此代入沒有歧義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

求 (1+10)^m 除以100的餘數。

m=7m=7
  • 指數 n 為非負整數；第幾項為 r+1，不是 r。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
提示 2
r≥2 的各項均含因子100。
完整解答

  1. 判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    117≡1+10(7)(mod100)11^{7}\equiv1+10(7)\pmod{100}

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    R=71R=71

  4. 保留式子仍可大於99，須再取除以100的餘數。

所求值為 71。

檢查與易錯點：保留式子仍可大於99，須再取除以100的餘數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 用通項找出係數、常數項及係數和。
    • 「二項式定理」中哪一個條件不可缺少？
    • 第二項為負，是否所有展開係數都為負？

    板書重點

    • 定義關係：用通項找出係數、常數項及係數和。
      (a+b)n=∑r=0nCnran−rbr(a+b)^n=\sum_{r=0}^nC_n^ra^{n-r}b^r
    • 適用條件：指數 n 為非負整數；第幾項為 r+1，不是 r。

    預期想法

    • 二項式係數與某項的完整係數可能不同。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

    教材與來源說明 ↗