Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

無窮等比級數及誤差控制

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

T04高二理組數學思維本(2026).pdf · III. Series; infinite geometric series · PDF 35 / 印刷頁 34

先重溫：等比數列

專題 01

無窮等比級數及誤差控制

先檢查收斂，再求和，解釋循環小數及截斷誤差。

學完之後，你能解釋

  • 先檢查收斂，再求和，解釋循環小數及截斷誤差。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

模型或定義

先檢查收斂，再求和，解釋循環小數及截斷誤差。

S∞=a/(1−q)(∣q∣<1)S_\infty=a/(1-q)\quad(|q|<1)

適用條件

a 非零時，收斂要求 |q|<1；有限部分和公式本身不能保證無窮和存在。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：公比為負會阻止無窮等比和存在嗎？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

前六個等比項：2、1、0.5、0.25、0.125、0.0625；和=3.9375。縱向顯示尺度自動調整，讓六項均可見。 因 |r|<1，無窮和=4。

前六個等比項：2、1、0.5、0.25、0.125、0.0625；和=3.9375。縱向顯示尺度自動調整，讓六項均可見。 因 |r|<1，無窮和=4。

解釋：比較兩個符合條件的情況，利用所述模型解釋結果差異。

遷移：比較 q=−1/2 及 q=−1 的部分和及餘項。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求無窮等比和。

a1=2,q=1/2a_1=2,\quad q=1/2
  • a 非零時，收斂要求 |q|<1；有限部分和公式本身不能保證無窮和存在。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
S∞=a/(1−q)S∞=a/(1−q)
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    S=2/(1−1/2)=4S=2/(1-1/2)=4

  3. 公比絕對值小於一。

所求值為 4。

檢查與易錯點：公比絕對值小於一。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

求無窮等比級數取首3項後的餘項和。

a1=3,q=1/2a_1=3,\quad q=1/2
  • a 非零時，收斂要求 |q|<1；有限部分和公式本身不能保證無窮和存在。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
餘項和為 aq³/(1−q)。
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    R3=3(1/8)/(1/2)=3/4R_3=3(1/8)/(1/2)=3/4

  3. 餘項從第四項 aq³ 開始。

所求值為 0.75。

檢查與易錯點：餘項從第四項 aq³ 開始。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

計算收斂的裂項級數。

∑n=1∞4n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n(n+1)}
  • a 非零時，收斂要求 |q|<1；有限部分和公式本身不能保證無窮和存在。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
有限部分和為 t(1−1/(N+1))。
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    SN=4(1−1/(N+1))S_N=4(1-1/(N+1))

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N→∞⇒S=4N\to\infty\Rightarrow S=4

  4. 先建立有限裂項恆等式，再取極限。

所求值為 4。

檢查與易錯點：先建立有限裂項恆等式，再取極限。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求無窮等比和。

a1=5,q=1/2a_1=5,\quad q=1/2
  • a 非零時，收斂要求 |q|<1；有限部分和公式本身不能保證無窮和存在。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
S∞=a/(1−q)S∞=a/(1−q)
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    S=5/(1−1/2)=10S=5/(1-1/2)=10

  3. 公比絕對值小於一。

所求值為 10。

檢查與易錯點：公比絕對值小於一。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求正負交替的無窮和。

a1=6,q=−1/2a_1=6,\quad q=-1/2
  • a 非零時，收斂要求 |q|<1；有限部分和公式本身不能保證無窮和存在。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
S∞=a/(1−q)S∞=a/(1−q)
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    S=6/(1+1/2)=12/3S=6/(1+1/2)=12/3

  3. 公比為負亦可收斂，只須絕對值小於一。

所求值為 4。

檢查與易錯點：公比為負亦可收斂，只須絕對值小於一。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

此等比級數收斂嗎？說明。

a1=7,q=−1a_1=7,\quad q=-1
  • a 非零時，收斂要求 |q|<1；有限部分和公式本身不能保證無窮和存在。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
比較偶數及奇數項的部分和。
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    S2m=0,S2m+1=7S_{2m}=0,\quad S_{2m+1}=7

  3. 兩個不同的子列極限顯示不收斂。

所求關係或結論如下。

divergent\text{divergent}

檢查與易錯點：兩個不同的子列極限顯示不收斂。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

把單一數字 d 循環的小數0.dddd…寫成分數值。

d=9d=9
  • a 非零時，收斂要求 |q|<1；有限部分和公式本身不能保證無窮和存在。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
x=d/10+d/100+⋯x=d/10+d/100+⋯
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=(9/10)/(1−1/10)=9/9x=(9/10)/(1-1/10)=9/9

  3. 一位數循環區塊的公比為1/10。

所求值為 1。

檢查與易錯點：一位數循環區塊的公比為1/10。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

把單一數字 d 循環的小數0.dddd…寫成分數值。

d=1d=1
  • a 非零時，收斂要求 |q|<1；有限部分和公式本身不能保證無窮和存在。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
x=d/10+d/100+⋯x=d/10+d/100+⋯
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=(1/10)/(1−1/10)=1/9x=(1/10)/(1-1/10)=1/9

  3. 一位數循環區塊的公比為1/10。

所求值為 0.111111111111。

檢查與易錯點：一位數循環區塊的公比為1/10。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求無窮等比級數取首3項後的餘項和。

a1=10,q=1/2a_1=10,\quad q=1/2
  • a 非零時，收斂要求 |q|<1；有限部分和公式本身不能保證無窮和存在。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
餘項和為 aq³/(1−q)。
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    R3=10(1/8)/(1/2)=10/4R_3=10(1/8)/(1/2)=10/4

  3. 餘項從第四項 aq³ 開始。

所求值為 2.5。

檢查與易錯點：餘項從第四項 aq³ 開始。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

對1+1/2+1/4+…，求使餘項不大於2^(1−t) 的最小 n。

t=11t=11
  • a 非零時，收斂要求 |q|<1；有限部分和公式本身不能保證無窮和存在。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
Rn=21−nR_n=2^{1−n}
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    21−n≤21−11⇒n≥112^{1-n}\le2^{1-11}\Rightarrow n\ge11

  3. 此餘項為正，因此等於絕對截斷誤差。

所求值為 11。

檢查與易錯點：此餘項為正，因此等於絕對截斷誤差。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

計算收斂的裂項級數。

∑n=1∞12n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{12}{n(n+1)}
  • a 非零時，收斂要求 |q|<1；有限部分和公式本身不能保證無窮和存在。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
有限部分和為 t(1−1/(N+1))。
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    SN=12(1−1/(N+1))S_N=12(1-1/(N+1))

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N→∞⇒S=12N\to\infty\Rightarrow S=12

  4. 先建立有限裂項恆等式，再取極限。

所求值為 12。

檢查與易錯點：先建立有限裂項恆等式，再取極限。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

對1+1/2+1/4+…，求使餘項不大於2^(1−t) 的最小 n。

t=13t=13
  • a 非零時，收斂要求 |q|<1；有限部分和公式本身不能保證無窮和存在。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
使用此中間關係式。
Rn=21−nR_n=2^{1−n}
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    21−n≤21−13⇒n≥132^{1-n}\le2^{1-13}\Rightarrow n\ge13

  3. 此餘項為正，因此等於絕對截斷誤差。

所求值為 13。

檢查與易錯點：此餘項為正，因此等於絕對截斷誤差。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

計算收斂的裂項級數。

∑n=1∞14n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{14}{n(n+1)}
  • a 非零時，收斂要求 |q|<1；有限部分和公式本身不能保證無窮和存在。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
提示 2
有限部分和為 t(1−1/(N+1))。
完整解答

  1. 寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    SN=14(1−1/(N+1))S_N=14(1-1/(N+1))

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    N→∞⇒S=14N\to\infty\Rightarrow S=14

  4. 先建立有限裂項恆等式，再取極限。

所求值為 14。

檢查與易錯點：先建立有限裂項恆等式，再取極限。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 先檢查收斂，再求和，解釋循環小數及截斷誤差。
    • 「無窮等比級數及誤差控制」中哪一個條件不可缺少？
    • 公比為負會阻止無窮等比和存在嗎？

    板書重點

    • 模型或定義：先檢查收斂，再求和，解釋循環小數及截斷誤差。
      S∞=a/(1−q)(∣q∣<1)S_\infty=a/(1-q)\quad(|q|<1)
    • 適用條件：a 非零時，收斂要求 |q|<1；有限部分和公式本身不能保證無窮和存在。

    預期想法

    • q=−1 的部分和震盪而不收斂。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

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