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學習・解釋・訂正

計算收斂的裂項級數。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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T04高二理組數學思維本(2026).pdf · III. Series; infinite geometric series · PDF 35 / 印刷頁 34

先重溫：等比數列

專題 01

無窮等比級數及誤差控制

先檢查收斂，再求和，解釋循環小數及截斷誤差。

學完之後，你能解釋

先檢查收斂，再求和，解釋循環小數及截斷誤差。
在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 鞏固#獨立練習

計算收斂的裂項級數。

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{12}{n(n+1)}

a 非零時，收斂要求 |q|<1；有限部分和公式本身不能保證無窮和存在。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。

提示 2

有限部分和為 t(1−1/(N+1))。

完整解答

寫出定義方程，保留排除條件，再求解或比較。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$S_N=12(1-1/(N+1))$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$N\to\infty\Rightarrow S=12$
先建立有限裂項恆等式，再取極限。

所求值為 12。

檢查與易錯點：先建立有限裂項恆等式，再取極限。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

提問順序

先檢查收斂，再求和，解釋循環小數及截斷誤差。
「無窮等比級數及誤差控制」中哪一個條件不可缺少？
公比為負會阻止無窮等比和存在嗎？

板書重點

模型或定義：先檢查收斂，再求和，解釋循環小數及截斷誤差。
$S_\infty=a/(1-q)\quad(|q|<1)$
適用條件：a 非零時，收斂要求 |q|<1；有限部分和公式本身不能保證無窮和存在。

預期想法

q=−1 的部分和震盪而不收斂。

評核清單

1分：選取正確表示法及條件。
1分：建立中間關係式。
1分：完成連貫的計算或證明。
1分：解釋並檢查結論。