學習・解釋・訂正

指數與對數方程

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

2027 JM01 考試大綱 · 8. Logarithmic and exponential functions · PDF 2 / 印刷頁 2

先重溫：指數對數對數函數

專題 01

指數與對數方程

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握指數與對數方程。

學完之後，你能解釋

計算前選取等價方法並交代排除條件。
連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

真數為正

實數對數要求真數及底數為正，底數不等於一。

代換

指數二次式代換產生正變數，對數法則須保留原定義域。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「指數與對數方程」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

指數圖像：水平平移 0，垂直平移 0；自變量改成 x−0。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

解指數方程。

2^{x+1}=2^{5}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。

提示 2

底數 2 的指數函數為單射。

完整解答

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。
計算或化簡此關係式。
$x+1=5$
兩邊化成相同底數後才比較指數。

所求值為 4。

檢查與易錯點：兩邊化成相同底數後才比較指數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

解對數方程。

\log_2(x-2)=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。

提示 2

改寫為指數形式。

完整解答

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。
計算或化簡此關係式。
$x>2;\quad x-2=8$
所得根須使真數為正。

所求值為 10。

檢查與易錯點：所得根須使真數為正。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

用 x=−2 說明 log(x²)=2 log(x) 為何不是所有非零實數的恆等式。

x=-2;\quad \log_2(x^2)=2\log_2 x

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。

提示 2

使用對數法則前先比較兩邊定義域。

完整解答

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。
計算或化簡此關係式。
$\log_2(x^2)=2\log_2|x|\quad(x\ne0)$
表面合理的對數運算可能改變定義域。

x<0 時右邊未定義；x≠0 時應用 2 log₂|x|。

檢查與易錯點：表面合理的對數運算可能改變定義域。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

解指數方程。

2^{x+1}=2^{6}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。

提示 2

底數 2 的指數函數為單射。

完整解答

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。
計算或化簡此關係式。
$x+1=6$
兩邊化成相同底數後才比較指數。

所求值為 5。

檢查與易錯點：兩邊化成相同底數後才比較指數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

解對數方程。

\log_2(x-3)=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。

提示 2

改寫為指數形式。

完整解答

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。
計算或化簡此關係式。
$x>3;\quad x-3=8$
所得根須使真數為正。

所求值為 11。

檢查與易錯點：所得根須使真數為正。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

連同定義域限制解方程。

\log_2(x-3)+\log_2(x-4)=1

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。

提示 2

令 t=x−3，則 t(t−1)=2。

完整解答

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。
計算或化簡此關係式。
$x>4;\quad (x-3)(x-4)=2;\quad x=5\text{ or }2$
較小的代數根使兩真數均為負，須排除。

所求值為 5。

檢查與易錯點：較小的代數根使兩真數均為負，須排除。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

完整解指數二次方程。

4^x-4\cdot2^x+3=0

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。

提示 2

把 4ˣ 看成 (2ˣ)²。

完整解答

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。
計算或化簡此關係式。
$t=2^x>0;\quad(t-1)(t-3)=0$
代換變數須為正，本题兩根均為正。

x=0 或 log₂(3)。

檢查與易錯點：代換變數須為正，本题兩根均為正。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

解底數小於一的對數不等式。

\log_{1/2}x>3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。

提示 2

底數 1/2 的對數函數遞減。

完整解答

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。
計算或化簡此關係式。
$x>0;\quad x<(1/2)^{3}$
轉換對數比較時須倒轉不等號。

0<x<1/8。

檢查與易錯點：轉換對數比較時須倒轉不等號。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

人口每 3 年倍增，達初值八倍需多少年？

N(t)=N_0\,2^{t/3};\quad N_0>0

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。

提示 2

八倍即倍增三次。

完整解答

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。
計算或化簡此關係式。
$2^{t/3}=8=2^3;\quad t=9$
模型假設倍增率保持不變。

所求值為 9。

檢查與易錯點：模型假設倍增率保持不變。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

用 x=−3 說明 log(x²)=2 log(x) 為何不是所有非零實數的恆等式。

x=-3;\quad \log_2(x^2)=2\log_2 x

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。

提示 2

使用對數法則前先比較兩邊定義域。

完整解答

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。
計算或化簡此關係式。
$\log_2(x^2)=2\log_2|x|\quad(x\ne0)$
表面合理的對數運算可能改變定義域。

x<0 時右邊未定義；x≠0 時應用 2 log₂|x|。

檢查與易錯點：表面合理的對數運算可能改變定義域。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

解指數方程。

2^{x+1}=2^{7}

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。

提示 2

底數 2 的指數函數為單射。

完整解答

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。
計算或化簡此關係式。
$x+1=7$
兩邊化成相同底數後才比較指數。

所求值為 6。

檢查與易錯點：兩邊化成相同底數後才比較指數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

解對數方程。

\log_2(x-4)=3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。

提示 2

改寫為指數形式。

完整解答

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。
計算或化簡此關係式。
$x>4;\quad x-4=8$
所得根須使真數為正。

所求值為 12。

檢查與易錯點：所得根須使真數為正。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

連同定義域限制解方程。

\log_2(x-4)+\log_2(x-5)=1

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。

提示 2

令 t=x−4，則 t(t−1)=2。

完整解答

先確保對數真數為正，再用單調性或正的指數代換。
計算或化簡此關係式。
$x>5;\quad (x-4)(x-5)=2;\quad x=6\text{ or }3$
較小的代數根使兩真數均為負，須排除。

所求值為 6。

檢查與易錯點：較小的代數根使兩真數均為負，須排除。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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教師備課與評核

提問順序

使用「指數與對數方程」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
改變一項假設後，原結論還成立嗎？

板書重點

計算前選取等價方法並交代排除條件。
真數為正：實數對數要求真數及底數為正，底數不等於一。
代換：指數二次式代換產生正變數，對數法則須保留原定義域。
總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

預期想法

預期理由：實數對數要求真數及底數為正，底數不等於一。
預期理由：指數二次式代換產生正變數，對數法則須保留原定義域。
預期修正：代數產生的候選解可能違反原定義域或符號條件。

評核清單

1：辨識已知條件及所求。
1：選取合適定義、表示或方法。
1：推理連貫且正確。
1：檢驗條件並解釋結果。