學習・解釋・訂正

等差數列

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高二選擇性必修第二册(A版).pdf · 4.2 · PDF 17 / 印刷頁 12

先重溫：數列的概念

專題 01

等差數列

推導等差數列的項與和，解決含下標的等差模型。

學完之後，你能解釋

推導等差數列的項與和，解決含下標的等差模型。
在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

定義關係

推導等差數列的項與和，解決含下標的等差模型。

a_n=a_1+(n-1)d;\quad S_n=n(a_1+a_n)/2

適用條件

n 項的有限和只有 n−1 個相鄰公差。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：公差的正負怎樣影響最大部分和？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

前六個等差項：2、3、4、5、6、7；和=27。縱向顯示尺度自動調整，讓六項均可見。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：構造項值穿過零的數列，找出最大部分和。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求 a6。

a_1=2,\quad d=3

n 項的有限和只有 n−1 個相鄰公差。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公差及等差數列求和公式。

提示 2

使用此中間關係式。

a_6=a_1+5d

完整解答

使用公差及等差數列求和公式。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$a_6=2+15=17$
第六項在首項後有五個公差。

所求值為 17。

檢查與易錯點：第六項在首項後有五個公差。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

2、5、8、… 中，有多少項不大於3t+2？

t=3

n 項的有限和只有 n−1 個相鄰公差。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公差及等差數列求和公式。

提示 2

使用此中間關係式。

2+3(n-1)\le3t+2

完整解答

使用公差及等差數列求和公式。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$n\le4\Rightarrow N=4$
等於上界的最後一項須計入。

所求值為 4。

檢查與易錯點：等於上界的最後一項須計入。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

戲院有 t 排；首排10個座位，每後一排多2個。求總座位數。

t=4

n 項的有限和只有 n−1 個相鄰公差。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公差及等差數列求和公式。

提示 2

使用此中間關係式。

a_t=10+2(t-1)

完整解答

使用公差及等差數列求和公式。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$a_t=16$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$S_t=4(10+16)/2=52$
排數為正整數，不需作連續模型的四捨五入。

所求值為 52。

檢查與易錯點：排數為正整數，不需作連續模型的四捨五入。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求 a6。

a_1=5,\quad d=3

n 項的有限和只有 n−1 個相鄰公差。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公差及等差數列求和公式。

提示 2

使用此中間關係式。

a_6=a_1+5d

完整解答

使用公差及等差數列求和公式。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$a_6=5+15=20$
第六項在首項後有五個公差。

所求值為 20。

檢查與易錯點：第六項在首項後有五個公差。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求公差。

a_2=6,\quad a_5=18

n 項的有限和只有 n−1 個相鄰公差。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公差及等差數列求和公式。

提示 2

使用此中間關係式。

a_5-a_2=3d

完整解答

使用公差及等差數列求和公式。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$3d=12\Rightarrow d=4$
公差次數由下標差決定，不是由較大的下標決定。

所求值為 4。

檢查與易錯點：公差次數由下標差決定，不是由較大的下標決定。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求 S4。

a_1=7,\quad d=2

n 項的有限和只有 n−1 個相鄰公差。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公差及等差數列求和公式。

提示 2

使用此中間關係式。

S_4=4[2a_1+3d]/2

完整解答

使用公差及等差數列求和公式。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$S_4=2(14+6)=40$
先求首末項平均，再乘以項數。

所求值為 40。

檢查與易錯點：先求首末項平均，再乘以項數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

已知 S9，求 a5。

S_9=72

n 項的有限和只有 n−1 個相鄰公差。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公差及等差數列求和公式。

提示 2

使用此中間關係式。

S_9=9a_5

完整解答

使用公差及等差數列求和公式。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$a_5=72/9=8$
九項時第五項為中項。

所求值為 8。

檢查與易錯點：九項時第五項為中項。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

已知 S9，求 a5。

S_9=81

n 項的有限和只有 n−1 個相鄰公差。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公差及等差數列求和公式。

提示 2

使用此中間關係式。

S_9=9a_5

完整解答

使用公差及等差數列求和公式。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$a_5=81/9=9$
九項時第五項為中項。

所求值為 9。

檢查與易錯點：九項時第五項為中項。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

2、5、8、… 中，有多少項不大於3t+2？

t=10

n 項的有限和只有 n−1 個相鄰公差。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公差及等差數列求和公式。

提示 2

使用此中間關係式。

2+3(n-1)\le3t+2

完整解答

使用公差及等差數列求和公式。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$n\le11\Rightarrow N=11$
等於上界的最後一項須計入。

所求值為 11。

檢查與易錯點：等於上界的最後一項須計入。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求 t、t−1、t−2、… 中所有正數項之和。

t=11

n 項的有限和只有 n−1 個相鄰公差。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公差及等差數列求和公式。

提示 2

使用此中間關係式。

t+(t-1)+\cdots+1

完整解答

使用公差及等差數列求和公式。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$N=11$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$S=11(11+1)/2=66$
零不增加部分和，負項則會減少部分和。

所求值為 66。

檢查與易錯點：零不增加部分和，負項則會減少部分和。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

戲院有 t 排；首排10個座位，每後一排多2個。求總座位數。

t=12

n 項的有限和只有 n−1 個相鄰公差。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公差及等差數列求和公式。

提示 2

使用此中間關係式。

a_t=10+2(t-1)

完整解答

使用公差及等差數列求和公式。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$a_t=32$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$S_t=12(10+32)/2=252$
排數為正整數，不需作連續模型的四捨五入。

所求值為 252。

檢查與易錯點：排數為正整數，不需作連續模型的四捨五入。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求 t、t−1、t−2、… 中所有正數項之和。

t=13

n 項的有限和只有 n−1 個相鄰公差。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公差及等差數列求和公式。

提示 2

使用此中間關係式。

t+(t-1)+\cdots+1

完整解答

使用公差及等差數列求和公式。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$N=13$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$S=13(13+1)/2=91$
零不增加部分和，負項則會減少部分和。

所求值為 91。

檢查與易錯點：零不增加部分和，負項則會減少部分和。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

戲院有 t 排；首排10個座位，每後一排多2個。求總座位數。

t=14

n 項的有限和只有 n−1 個相鄰公差。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公差及等差數列求和公式。

提示 2

使用此中間關係式。

a_t=10+2(t-1)

完整解答

使用公差及等差數列求和公式。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$a_t=36$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$S_t=14(10+36)/2=322$
排數為正整數，不需作連續模型的四捨五入。

所求值為 322。

檢查與易錯點：排數為正整數，不需作連續模型的四捨五入。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

推導等差數列的項與和，解決含下標的等差模型。
「等差數列」中哪一個條件不可缺少？
公差的正負怎樣影響最大部分和？

板書重點

定義關係：推導等差數列的項與和，解決含下標的等差模型。
$a_n=a_1+(n-1)d;\quad S_n=n(a_1+a_n)/2$
適用條件：n 項的有限和只有 n−1 個相鄰公差。

預期想法

中項公式取決於項數為奇數。

評核清單

1分：選取正確表示法及條件。
1分：建立中間關係式。
1分：完成連貫的計算或證明。
1分：解釋並檢查結論。