Kenneth Cheng數學建模
← 高中數學研習室

學習・解釋・訂正

二項分佈與超幾何分佈

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高三選擇性必修 第三册(A版).pdf · 7.4 · PDF 77 / 印刷頁 72

先重溫：離散型隨機變量的數字特徵

專題 01

二項分佈與超幾何分佈

為重複獨立試驗或不放回抽樣選擇正確模型。

學完之後，你能解釋

  • 為重複獨立試驗或不放回抽樣選擇正確模型。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

定義關係

為重複獨立試驗或不放回抽樣選擇正確模型。

P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−kP(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}

適用條件

二項試驗有固定 n、相同 p 及獨立性；超幾何抽樣使用有限母體且不放回。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：有限袋中移除一個成功物件後，哪個概率會改變？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

從十個物件不放回抽 n=4 個，其中 K=4 個成功。長條為精確超幾何概率；E(X)=1.6，Var(X)=0.64。各次抽取不獨立。

從十個物件不放回抽 n=4 個，其中 K=4 個成功。長條為精確超幾何概率；E(X)=1.6，Var(X)=0.64。各次抽取不獨立。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：用同一袋比較放回及不放回模型。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

X~Bin(m,1/2)。求 P(X=0)。

m=5m=5
  • 二項試驗有固定 n、相同 p 及獨立性；超幾何抽樣使用有限母體且不放回。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
以條件概率或互斥分割表示事件。
提示 2
使用此中間關係式。
P(X=0)=(1−p)mP(X=0)=(1-p)^m
完整解答

  1. 以條件概率或互斥分割表示事件。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    P(X=0)=2−5P(X=0)=2^{-5}

  3. 零次成功要求每次獨立試驗均失敗。

所求值為 0.03125。

檢查與易錯點：零次成功要求每次獨立試驗均失敗。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

袋有 t 紅3藍；不放回選2球。求兩球均藍的概率。

t=3t=3
  • 二項試驗有固定 n、相同 p 及獨立性；超幾何抽樣使用有限母體且不放回。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
以條件概率或互斥分割表示事件。
提示 2
使用此中間關係式。
C32/Ct+32C_3^2/C_{t+3}^2
完整解答

  1. 以條件概率或互斥分割表示事件。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    P=3/15P=3/15

  3. 無序樣本的分母計算二球組合，不是獨立試驗。

所求值為 0.2。

檢查與易錯點：無序樣本的分母計算二球組合，不是獨立試驗。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

獨立試驗的成功概率為1/2。求使至少一次成功概率≥1−2^(−m) 的最小 n。

m=7m=7
  • 二項試驗有固定 n、相同 p 及獨立性；超幾何抽樣使用有限母體且不放回。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
以條件概率或互斥分割表示事件。
提示 2
使用此中間關係式。
1−2−n≥1−2−m1-2^{-n}\ge1-2^{-m}
完整解答

  1. 以條件概率或互斥分割表示事件。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    2−n≤2−7⇒n≥72^{-n}\le2^{-7}\Rightarrow n\ge7

  3. 使用一次都沒有成功的補事件。

所求值為 7。

檢查與易錯點：使用一次都沒有成功的補事件。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

X~Bin(m,1/2)。求 P(X=0)。

m=8m=8
  • 二項試驗有固定 n、相同 p 及獨立性；超幾何抽樣使用有限母體且不放回。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
以條件概率或互斥分割表示事件。
提示 2
使用此中間關係式。
P(X=0)=(1−p)mP(X=0)=(1-p)^m
完整解答

  1. 以條件概率或互斥分割表示事件。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    P(X=0)=2−8P(X=0)=2^{-8}

  3. 零次成功要求每次獨立試驗均失敗。

所求值為 0.00390625。

檢查與易錯點：零次成功要求每次獨立試驗均失敗。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

X~Bin(m,1/2)。求 P(X=1)。

m=9m=9
  • 二項試驗有固定 n、相同 p 及獨立性；超幾何抽樣使用有限母體且不放回。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
以條件概率或互斥分割表示事件。
提示 2
使用此中間關係式。
P(X=1)=Cm1/2mP(X=1)=C_m^1/2^m
完整解答

  1. 以條件概率或互斥分割表示事件。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    P(X=1)=9/512P(X=1)=9/512

  3. 恰好一次成功可出現在 m 個位置。

所求值為 0.017578125。

檢查與易錯點：恰好一次成功可出現在 m 個位置。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

X~Bin(m,1/4)。求 E(X)。

m=10m=10
  • 二項試驗有固定 n、相同 p 及獨立性；超幾何抽樣使用有限母體且不放回。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
使用此中間關係式。
E(X)=mpE(X)=mp
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    E(X)=10/4E(X)=10/4

  3. 期望表示平均成功次數。

所求值為 2.5。

檢查與易錯點：期望表示平均成功次數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

X~Bin(m,1/4)。求 Var(X)。

m=11m=11
  • 二項試驗有固定 n、相同 p 及獨立性；超幾何抽樣使用有限母體且不放回。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
使用此中間關係式。
Var(X)=mp(1−p)Var(X)=mp(1-p)
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Var(X)=11(1/4)(3/4)=33/16Var(X)=11(1/4)(3/4)=33/16

  3. 須同時包含失敗概率及成功概率。

所求值為 2.0625。

檢查與易錯點：須同時包含失敗概率及成功概率。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

X~Bin(m,1/4)。求 Var(X)。

m=12m=12
  • 二項試驗有固定 n、相同 p 及獨立性；超幾何抽樣使用有限母體且不放回。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
提示 2
使用此中間關係式。
Var(X)=mp(1−p)Var(X)=mp(1-p)
完整解答

  1. 先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Var(X)=12(1/4)(3/4)=36/16Var(X)=12(1/4)(3/4)=36/16

  3. 須同時包含失敗概率及成功概率。

所求值為 2.25。

檢查與易錯點：須同時包含失敗概率及成功概率。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

袋有 t 紅3藍；不放回選2球。求兩球均藍的概率。

t=10t=10
  • 二項試驗有固定 n、相同 p 及獨立性；超幾何抽樣使用有限母體且不放回。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
以條件概率或互斥分割表示事件。
提示 2
使用此中間關係式。
C32/Ct+32C_3^2/C_{t+3}^2
完整解答

  1. 以條件概率或互斥分割表示事件。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    P=3/78P=3/78

  3. 無序樣本的分母計算二球組合，不是獨立試驗。

所求值為 0.0384615384615。

檢查與易錯點：無序樣本的分母計算二球組合，不是獨立試驗。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

從 t 紅3藍不放回選2球。求恰有一紅的概率。

t=11t=11
  • 二項試驗有固定 n、相同 p 及獨立性；超幾何抽樣使用有限母體且不放回。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
以條件概率或互斥分割表示事件。
提示 2
使用此中間關係式。
Ct1C31/Ct+32C_t^1C_3^1/C_{t+3}^2
完整解答

  1. 以條件概率或互斥分割表示事件。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    P=33/91P=33/91

  3. 每種顏色各選一球；不要額外乘上次序因子。

所求值為 0.362637362637。

檢查與易錯點：每種顏色各選一球；不要額外乘上次序因子。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

獨立試驗的成功概率為1/2。求使至少一次成功概率≥1−2^(−m) 的最小 n。

m=4m=4
  • 二項試驗有固定 n、相同 p 及獨立性；超幾何抽樣使用有限母體且不放回。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
以條件概率或互斥分割表示事件。
提示 2
使用此中間關係式。
1−2−n≥1−2−m1-2^{-n}\ge1-2^{-m}
完整解答

  1. 以條件概率或互斥分割表示事件。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    2−n≤2−4⇒n≥42^{-n}\le2^{-4}\Rightarrow n\ge4

  3. 使用一次都沒有成功的補事件。

所求值為 4。

檢查與易錯點：使用一次都沒有成功的補事件。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

從 t 紅3藍不放回選2球。求恰有一紅的概率。

t=13t=13
  • 二項試驗有固定 n、相同 p 及獨立性；超幾何抽樣使用有限母體且不放回。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
以條件概率或互斥分割表示事件。
提示 2
使用此中間關係式。
Ct1C31/Ct+32C_t^1C_3^1/C_{t+3}^2
完整解答

  1. 以條件概率或互斥分割表示事件。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    P=39/120P=39/120

  3. 每種顏色各選一球；不要額外乘上次序因子。

所求值為 0.325。

檢查與易錯點：每種顏色各選一球；不要額外乘上次序因子。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

獨立試驗的成功概率為1/2。求使至少一次成功概率≥1−2^(−m) 的最小 n。

m=6m=6
  • 二項試驗有固定 n、相同 p 及獨立性；超幾何抽樣使用有限母體且不放回。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
以條件概率或互斥分割表示事件。
提示 2
使用此中間關係式。
1−2−n≥1−2−m1-2^{-n}\ge1-2^{-m}
完整解答

  1. 以條件概率或互斥分割表示事件。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    2−n≤2−6⇒n≥62^{-n}\le2^{-6}\Rightarrow n\ge6

  3. 使用一次都沒有成功的補事件。

所求值為 6。

檢查與易錯點：使用一次都沒有成功的補事件。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 為重複獨立試驗或不放回抽樣選擇正確模型。
    • 「二項分佈與超幾何分佈」中哪一個條件不可缺少？
    • 有限袋中移除一個成功物件後，哪個概率會改變？

    板書重點

    • 定義關係：為重複獨立試驗或不放回抽樣選擇正確模型。
      P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−kP(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}
    • 適用條件：二項試驗有固定 n、相同 p 及獨立性；超幾何抽樣使用有限母體且不放回。

    預期想法

    • 不放回抽樣通常不是二項分佈。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

    教材與來源說明 ↗