Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

根式、分式方程與聯立方程

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

2027 JM01 考試大綱 · 6, 9, 14(A) · PDF 2 / 印刷頁 2

先重溫：等式性質與不等式性質二次函數、方程與不等式

專題 01

根式、分式方程與聯立方程

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握根式、分式方程與聯立方程。

學完之後，你能解釋

  • 計算前選取等價方法並交代排除條件。
  • 連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
  • 能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

先處理定義域

分母不為零，被開方數非負，平方還須檢查符號。

等價與代換

代入法連結方程組，每個候選解均須代回原式。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「根式、分式方程與聯立方程」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

兩者相差 2ab=4；恰在 ab=0 時相等。(a+b)² = 9a²+b² = 5

兩者相差 2ab=4；恰在 ab=0 時相等。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

化簡根式。

72\sqrt{72}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。
提示 2
提出正平方因子。
完整解答

  1. 先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。

  2. 計算或化簡此關係式。

    36⋅2=62\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2

  3. 平方根符號表示非負平方根。

6√2。

檢查與易錯點：平方根符號表示非負平方根。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

解分式方程。

x+1x−2=2\frac{x+1}{x-2}=2
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。
提示 2
排除 x=2 後乘以 x−2。
完整解答

  1. 先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x≠2;x+1=2x−4;x=5x\ne2;\quad x+1=2x-4;\quad x=5

  3. 檢查所得根令分母不為零。

所求值為 5。

檢查與易錯點：檢查所得根令分母不為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

用此方程說明為何兩邊平方可能產生增根。

x+2=−x\sqrt{x+2}=-x
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。
提示 2
平方前保留 −x 的符號限制。
完整解答

  1. 先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x≤0;x2−x−2=0x\le0;\quad x^2-x-2=0

  3. 正的二次方程候選根使原式右邊為負。

只有 x=(1−√9)/2 滿足原式。

檢查與易錯點：正的二次方程候選根使原式右邊為負。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

化簡根式。

162\sqrt{162}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。
提示 2
提出正平方因子。
完整解答

  1. 先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。

  2. 計算或化簡此關係式。

    81⋅2=92\sqrt{81\cdot2}=9\sqrt2

  3. 平方根符號表示非負平方根。

9√2。

檢查與易錯點：平方根符號表示非負平方根。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

解分式方程。

x+1x−3=2\frac{x+1}{x-3}=2
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。
提示 2
排除 x=3 後乘以 x−3。
完整解答

  1. 先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x≠3;x+1=2x−6;x=7x\ne3;\quad x+1=2x-6;\quad x=7

  3. 檢查所得根令分母不為零。

所求值為 7。

檢查與易錯點：檢查所得根令分母不為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

解無理方程，排除增根。

x+3=x\sqrt{x+3}=x
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。
提示 2
平方根要求右邊非負。
完整解答

  1. 先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x≥0;x2−x−3=0;x=1±132x\ge0;\quad x^2-x-3=0;\quad x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}

  3. 負的二次方程根不能滿足未平方的原式。

x=(1+√13)/2。

檢查與易錯點：負的二次方程根不能滿足未平方的原式。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

解一次方程組，輸入 x。

x+y=6;2x−y=9x+y=6;\quad 2x-y=9
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。
提示 2
兩式相加消去 y。
完整解答

  1. 先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。

  2. 計算或化簡此關係式。

    3x=15;x=5;y=13x=15;\quad x=5;\quad y=1

  3. 解對須同時滿足兩式。

所求值為 5。

檢查與易錯點：解對須同時滿足兩式。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

完整解一次與二次聯立方程組。

y=x+3;y=x2y=x+3;\quad y=x^2
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。
提示 2
把 y 的一次式代入。
完整解答

  1. 先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x2−x−3=0;x=1±132x^2-x-3=0;\quad x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}

  3. 兩個實根均給出交點，不可只因負根而捨去。

x=(1±√13)/2，y=x+3。

檢查與易錯點：兩個實根均給出交點，不可只因負根而捨去。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

約去 x−3 後，可否判定原式在所有實數成立？說明。

x2−9x−3=x+3\frac{x^2-9}{x-3}=x+3
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。
提示 2
約去的因子仍須保留原排除值。
完整解答

  1. 先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。

  2. 計算或化簡此關係式。

    (x−3)(x+3)x−3=x+3(x≠3)\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\quad(x\ne3)

  3. 化簡後恆等不會填補原定義域的缺口。

不能：所有實數 x 中除去 3。

檢查與易錯點：化簡後恆等不會填補原定義域的缺口。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

用此方程說明為何兩邊平方可能產生增根。

x+3=−x\sqrt{x+3}=-x
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。
提示 2
平方前保留 −x 的符號限制。
完整解答

  1. 先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x≤0;x2−x−3=0x\le0;\quad x^2-x-3=0

  3. 正的二次方程候選根使原式右邊為負。

只有 x=(1−√13)/2 滿足原式。

檢查與易錯點：正的二次方程候選根使原式右邊為負。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

化簡根式。

288\sqrt{288}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。
提示 2
提出正平方因子。
完整解答

  1. 先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。

  2. 計算或化簡此關係式。

    144⋅2=122\sqrt{144\cdot2}=12\sqrt2

  3. 平方根符號表示非負平方根。

12√2。

檢查與易錯點：平方根符號表示非負平方根。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

解分式方程。

x+1x−4=2\frac{x+1}{x-4}=2
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。
提示 2
排除 x=4 後乘以 x−4。
完整解答

  1. 先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x≠4;x+1=2x−8;x=9x\ne4;\quad x+1=2x-8;\quad x=9

  3. 檢查所得根令分母不為零。

所求值為 9。

檢查與易錯點：檢查所得根令分母不為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

解無理方程，排除增根。

x+4=x\sqrt{x+4}=x
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。
提示 2
平方根要求右邊非負。
完整解答

  1. 先寫定義域，再作可逆代數運算，最後代回原式。

  2. 計算或化簡此關係式。

    x≥0;x2−x−4=0;x=1±172x\ge0;\quad x^2-x-4=0;\quad x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}

  3. 負的二次方程根不能滿足未平方的原式。

x=(1+√17)/2。

檢查與易錯點：負的二次方程根不能滿足未平方的原式。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 使用「根式、分式方程與聯立方程」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
    • 哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
    • 改變一項假設後，原結論還成立嗎？

    板書重點

    • 計算前選取等價方法並交代排除條件。
    • 先處理定義域：分母不為零，被開方數非負，平方還須檢查符號。
    • 等價與代換：代入法連結方程組，每個候選解均須代回原式。
    • 總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

    預期想法

    • 預期理由：分母不為零，被開方數非負，平方還須檢查符號。
    • 預期理由：代入法連結方程組，每個候選解均須代回原式。
    • 預期修正：代數產生的候選解可能違反原定義域或符號條件。

    評核清單

    • 1：辨識已知條件及所求。
    • 1：選取合適定義、表示或方法。
    • 1：推理連貫且正確。
    • 1：檢驗條件並解釋結果。

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    教材與來源說明 ↗