2025 JM01

1. 開口向上的二次式在兩根外側非負。

   $$(x+4)(x-1)\ge0\iff x\le-4\ \text{or}\ x\ge1$$

2. 篩選四個已列出的元素。

   $$A\cap B=\{-4,3\}$$

A：{−4,3}。

檢查與易錯點：因為不等式非嚴格，所以包含根 −4。

1. 求 α、β 的和。

   $$\frac1\alpha+\frac1\beta=-1,\quad\frac1{\alpha\beta}=-\frac12\implies\alpha+\beta=2$$

2. 同底冪相乘，指數相加。

   $$2^{\alpha+1}2^{\beta+1}=2^{\alpha+\beta+2}=16$$

D：16。

檢查與易錯點：α、β 本身不是原二次方程的根。

1. 只有半徑倍率需要平方。

   $$\frac{V_{\rm new}}{V_{\rm old}}=(1.3)^2(0.7)=1.183$$

2. 減去一得到增幅。

   $$(1.183-1)\cdot100\%=18.3\%$$

A：增加 18.3%。

檢查與易錯點：半徑與高度的相等百分比變動不會互相抵消。

1. 消去分式指數。

   $$\frac{m^{3/2}-m^{-1/2}}{m^{1/2}+m^{-1/2}}=\frac{m^2-1}{m+1}$$

2. 分解平方差；在定義域內 m+1 不為零。

   $$\frac{(m-1)(m+1)}{m+1}=m-1,\quad m>0$$

C：m−1，且 m>0。

檢查與易錯點：化簡不能擴大原來的定義域。

1. 辨認已知對數。

   $$p=\log_2 5,\quad q=\log_2 7$$

2. 拆開商的對數。

   $$\log_2\frac7{2\cdot5}=q-1-p$$

D：q−p−1。

檢查與易錯點：分母額外的因子 2 會產生 −1。

1. 上界給出兩根之間的區間。

   $$x^2-5x-6<0\iff-1<x<6$$

2. 下界排除閉區間 [2,3]。

   $$x^2-5x+6>0\iff x<2\ \text{or}\ x>3\implies x\in(-1,2)\cup(3,6)$$

E：(−1,2)∪(3,6)。

檢查與易錯點：四個邊界值都不能包含。

1. 四位女生連同兩端共形成五個空位。

   $$4!\binom53$$

2. 把三位不同男生排列於已選空位。

   $$N=4!\binom53\,3!=24\cdot10\cdot6=1440$$

C：1440。

檢查與易錯點：兩端空位也可以使用，不能漏算。

1. 中間兩項為 x−4、x+2。

   $$\frac{(x-4)+(x+2)}2=x-1=8\implies x=9$$

2. 六個常數差的和為 −6。

   $$\bar x=\frac{6x-6}6=x-1=8$$

C：8。

檢查與易錯點：未排序前的第三、四項不能用來求中位數。

1. 乘 x 的部分須取二項式中的 x³y⁵。

   $$\binom85=56$$

2. 另一部分須取 x⁶y²，再把兩者相加。

   $$\binom82=28,\quad56+28=84$$

B：84。

檢查與易錯點：x⁻² 因子會改變二項式中所需的 x 次方。

1. 配方並求圓心至固定點的距離。

   $$(x-2)^2+y^2=4,\quad C=(2,0),\ r=2,\ CP=\sqrt2$$

2. 直線至圓心的最大距離為 CP，在直線垂直 CP 時取得。

   $$\ell_{\min}=2\sqrt{r^2-CP^2}=2\sqrt2$$

E：2√2。

檢查與易錯點：固定點在圓內，不能由該點作圓的切線。

1. 與標準係數 4a 比較，辨認準線。

   $$y_{\rm directrix}=\frac p4,\quad y_A=-7$$

2. 使用焦點準線定義。

   $$7+\frac p4=15\implies p=32$$

E：32。

檢查與易錯點：本題係數 p 為標準焦距參數的四倍。

1. 分別求兩人的二項概率。

   $$P_J(1,2,3)=\left(\frac49,\frac29,\frac1{27}\right),\quad P_A(1,2,3)=\left(\frac29,\frac49,\frac8{27}\right)$$

2. 每組內獨立概率相乘，再相加。

   $$P=\frac49\frac8{27}+\frac29\frac49+\frac1{27}\frac29=\frac{58}{243}$$

D：58/243。

檢查與易錯點：六次射擊的命中率並不相同。

1. 寫出三個部分和並代入。

   $$S_2=8+d,\quad S_3=12+3d,\quad S_4=16+6d$$

2. 解出 d，再使用第七項公式。

   $$2(12+3d)^2=3(8+d)(16+6d)\implies d=-2,\quad a_7=4+6d=-8$$

B：−8。

檢查與易錯點：S₃² 表示第三個部分和的平方。

1. 從目標式的上界中消去 x。

   $$3x+y\le7-3y\le10$$

2. 兩個上界在同一可行點取等。

   $$(x,y)=\left(\frac{11}3,-1\right),\quad x-2y=\frac{17}3\ge-1$$

D：最大值 10。

檢查與易錯點：找到可行的等號情況後，上界才能稱為最大值。

1. 平移後的式子為以 1 為中心的 V 形。

   $$f(x)=1+|x-1|\ (0\le x\le2),\quad f(0)=2,\ f(1)=1$$

2. 計算相關自變量的函數值。

   $$f(1/2)=f(-1/2)=\frac32,\quad f(\sqrt3/2)=2-\frac{\sqrt3}2<\frac32$$

3. 因此 B 把正確不等式倒轉；A、C、D、E 均成立。

B 是不正確的不等式。

檢查與易錯點：函數有週期，不代表在整個週期內遞增。

1. 相邻部分和相減；同一公式亦給出 a₁=3。

   $$a_n=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1$$

2. 由 a₄=9 決定公比。

   $$2r^2=18,\ r>0\implies r=3,\quad b_n=2\cdot3^{n-1}$$

aₙ=2n+1；bₙ=2·3ⁿ⁻¹。

檢查與易錯點：題目要求公比為正，因此排除負平方根。

1. 把每項改寫為相鄰差。

   $$c_k=2k3^k-2(k-1)3^{k-1}$$

2. 由 k=1 加至 n，中間項全部相消。

   $$T_n=\sum_{k=1}^n[2k3^k-2(k-1)3^{k-1}]=2n3^n$$

Tₙ=2n·3ⁿ。

檢查與易錯點：乘積數列的和不等於兩個部分和相乘。

1. 最高與最低次係數決定 p、r。

   $$2p=8,\quad3r=9\implies p=4,\ r=3$$

2. 餘式定理決定 q。

   $$f(-1)=(4+3+3)(2-q+3)=10(5-q)=-10\implies q=6$$

p=4，q=6，r=3。

檢查與易錯點：除以 x+1 應代入 −1。

1. 第一因式沒有實零點。

   $$\Delta_1=9-48=-39<0$$

2. 用求根公式解第二因式。

   $$x=\frac{-6\pm\sqrt{36-24}}4=\frac{-3\pm\sqrt3}2$$

實根為 (−3±√3)/2。

檢查與易錯點：四次多項式不一定有四個實根。

1. 把 sin C 化為半角乘積。

   $$2\sin\frac C2\cos\frac C2=6\sin^2\frac C2\implies\tan\frac C2=\frac13$$

2. 使用以半角正切表示餘弦的公式。

   $$\cos C=\frac{1-\tan^2(C/2)}{1+\tan^2(C/2)}=\frac45$$

cos C=4/5。

檢查與易錯點：C 是非退化三角形內角，因此不能等於零。

1. 把 B=π−A−C 乘以二。

   $$2B=\frac{3\pi}2-2C,\quad\sin2B=-\cos2C$$

2. 把已知餘弦代入倍角公式。

   $$\sin2B=1-2\cos^2C=1-2\left(\frac45\right)^2=-\frac7{25}$$

sin(2B)=−7/25。

檢查與易錯點：1−2cos²C 中的係數 2 不可遺漏。

1. E、G、B 共線，而 F 至 E、A 為同向射線。

   $$\angle DEG=\angle DEB=\angle AFD=\angle DFE$$

2. D 至 G、F 為同向射線，得到第二對相等角。

   $$\angle EDG=\angle FDE\implies\triangle DEG\sim\triangle DFE\quad(AA)$$

由 AA 得 △DEG∼△DFE。

檢查與易錯點：使用比例時須保持 D↔D、E↔F、G↔E 的對應。

1. ADE 的底角相等，其補角亦相等。

   $$\angle ADE=\angle AED\implies\angle BDE=\angle DEF$$

2. 已知角給出另一對相等角。

   $$\angle DFE=\angle AFD=\angle DEB\implies\triangle DEF\sim\triangle BDE$$

由 AA 得 △DEF∼△BDE。

檢查與易錯點：此處的外角為相等底角的補角。

1. 第一組相似給出比例中項關係。

   $$\frac{DE}{DF}=\frac{DG}{DE}\implies DE^2=DG\cdot DF$$

2. 第二組相似表示同一平方。

   $$\frac{DE}{DB}=\frac{EF}{DE}\implies DE^2=DB\cdot EF$$

3. 兩式均等於 DE²。

   $$DG\cdot DF=DB\cdot EF$$

DG·DF=DB·EF。

檢查與易錯點：比例須按頂點對應列出，不能依圖上長短猜測。

1. 兩斜率只在避開兩端點橫坐標時存在。

   $$\frac y{x+2\sqrt2}\frac y{x-2\sqrt2}=-\frac12,\quad x\ne\pm2\sqrt2$$

2. 消去非零分母並整理。

   $$2y^2=8-x^2\implies\frac{x^2}8+\frac{y^2}4=1,\quad M\ne(\pm2\sqrt2,0)$$

軌跡為 x²/8+y²/4=1；按斜率條件的字面定義須排除兩頂點 (±2√2,0)。

檢查與易錯點：消分母可能加入原斜率不存在的點。

1. 代入得兩交點橫坐標的二次方程。

   $$(1+2k^2)x^2+4kbx+2b^2-8=0\implies x_D=-\frac{2kb}{1+2k^2}$$

2. 求 y_D 再相除；k、b 非零保證 x_D 非零。

   $$y_D=kx_D+b=\frac b{1+2k^2},\quad m_{OD}=\frac{y_D}{x_D}=-\frac1{2k}$$

斜率為 −1/(2k)。

檢查與易錯點：弦中點不一定在橢圓上，但必在割線上。