割線 y=kx+b 中 k、b 均非零，在上述橢圓的弦中點為 D，求 OD 的斜率。

01 / 鞏固#獨立練習

\frac{x^2}8+\frac{y^2}4=1

官方試卷 · jm01-2025 · II.5(b) · PDF 4

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

消去 y，再使用根和公式。

提示 2

中點的縱坐標也滿足割線方程。

完整解答

代入得兩交點橫坐標的二次方程。
$(1+2k^2)x^2+4kbx+2b^2-8=0\implies x_D=-\frac{2kb}{1+2k^2}$
求 y_D 再相除；k、b 非零保證 x_D 非零。
$y_D=kx_D+b=\frac b{1+2k^2},\quad m_{OD}=\frac{y_D}{x_D}=-\frac1{2k}$

斜率為 −1/(2k)。

檢查與易錯點：弦中點不一定在橢圓上，但必在割線上。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
代入得兩交點橫坐標的二次方程。
$(1+2k^2)x^2+4kbx+2b^2-8=0\implies x_D=-\frac{2kb}{1+2k^2}$
求 y_D 再相除；k、b 非零保證 x_D 非零。
$y_D=kx_D+b=\frac b{1+2k^2},\quad m_{OD}=\frac{y_D}{x_D}=-\frac1{2k}$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2025 JM01