學習・解釋・訂正

一元線性回歸模型及其應用

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高三選擇性必修第三册(A版).pdf · 8.2 · PDF 110 / 印刷頁 105

先重溫：成對數據的統計相關性

專題 01

一元線性回歸模型及其應用

配適最小二乘直線，區分預測、殘差及外推。

學完之後，你能解釋

配適最小二乘直線，區分預測、殘差及外推。
在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

定義關係

配適最小二乘直線，區分預測、殘差及外推。

\hat y=a+bx;\quad b=S_{xy}/S_{xx};\quad a=\bar y-b\bar x

適用條件

Sxx>0；超出觀察 x 範圍的外推須另作論證，預測不是確定結果。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：回歸直線必須通過每個數據點嗎？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

自編示例資料：斜率=2、截距=1、r=1。相關本身不能證明因果。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：比較殘差及最小二乘直線通過中心點的性質。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求配適斜率。

S_{xx}=2,\quad S_{xy}=4

Sxx>0；超出觀察 x 範圍的外推須另作論證，預測不是確定結果。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

提示 2

使用此中間關係式。

b=S_{xy}/S_{xx}

完整解答

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$b=4/2=2$
分母為預測變量 x 的變異。

所求值為 2。

檢查與易錯點：分母為預測變量 x 的變異。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

x=−1、0、1；y=−t、0、t。求最小二乘斜率。

t=3

Sxx>0；超出觀察 x 範圍的外推須另作論證，預測不是確定結果。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

提示 2

使用此中間關係式。

\bar x=\bar y=0

完整解答

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$S_{xx}=2,\quad S_{xy}=6$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$b=3$
計算乘積時須保留配對次序。

所求值為 3。

檢查與易錯點：計算乘積時須保留配對次序。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

x=−1、0、1；y=t、0、t。求回歸直線，並解釋其遺漏的模式。

t=4

Sxx>0；超出觀察 x 範圍的外推須另作論證，預測不是確定結果。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

提示 2

使用此中間關係式。

S_{xy}=0,\quad \bar y=2t/3

完整解答

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$b=0,\quad a=8/3$
零斜率遺漏 U 形關係，因此須連同散點圖檢視。

所求關係或結論如下。

\hat y=8/3

檢查與易錯點：零斜率遺漏 U 形關係，因此須連同散點圖檢視。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求配適斜率。

S_{xx}=2,\quad S_{xy}=10

Sxx>0；超出觀察 x 範圍的外推須另作論證，預測不是確定結果。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

提示 2

使用此中間關係式。

b=S_{xy}/S_{xx}

完整解答

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$b=10/2=5$
分母為預測變量 x 的變異。

所求值為 5。

檢查與易錯點：分母為預測變量 x 的變異。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求截距。

\bar x=2,\quad\bar y=15,\quad b=6

Sxx>0；超出觀察 x 範圍的外推須另作論證，預測不是確定結果。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

提示 2

使用此中間關係式。

a=\bar y-b\bar x

完整解答

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$a=15-2(6)=3$
配適直線通過數據中心點。

所求值為 3。

檢查與易錯點：配適直線通過數據中心點。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

用配適直線預測 x=2 時的 y。

\hat y=3+7x

Sxx>0；超出觀察 x 範圍的外推須另作論證，預測不是確定結果。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

提示 2

使用此中間關係式。

\hat y(2)=3+2t

完整解答

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$\hat y=17$
這是配適預測值，不是觀察結果。

所求值為 17。

檢查與易錯點：這是配適預測值，不是觀察結果。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

x=2 時觀察 y=2t+5，回歸式 ŷ=3+tx。求殘差。

t=8

Sxx>0；超出觀察 x 範圍的外推須另作論證，預測不是確定結果。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

提示 2

使用此中間關係式。

e=y-\hat y

完整解答

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$e=21-(19)=2$
正殘差表示觀察點在配適直線上方。

所求值為 2。

檢查與易錯點：正殘差表示觀察點在配適直線上方。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

x=2 時觀察 y=2t+5，回歸式 ŷ=3+tx。求殘差。

t=9

Sxx>0；超出觀察 x 範圍的外推須另作論證，預測不是確定結果。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

提示 2

使用此中間關係式。

e=y-\hat y

完整解答

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$e=23-(21)=2$
正殘差表示觀察點在配適直線上方。

所求值為 2。

檢查與易錯點：正殘差表示觀察點在配適直線上方。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

x=−1、0、1；y=−t、0、t。求最小二乘斜率。

t=10

Sxx>0；超出觀察 x 範圍的外推須另作論證，預測不是確定結果。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

提示 2

使用此中間關係式。

\bar x=\bar y=0

完整解答

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$S_{xx}=2,\quad S_{xy}=20$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$b=10$
計算乘積時須保留配對次序。

所求值為 10。

檢查與易錯點：計算乘積時須保留配對次序。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

數據只在0≤x≤t內觀察。評估 x=10t 的預測。

t=11

Sxx>0；超出觀察 x 範圍的外推須另作論證，預測不是確定結果。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

提示 2

比較目標 x 與觀察區間。

完整解答

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$110>11$
樣本範圍內配適良好，不能驗證遠距外推。

所求關係或結論如下。

\text{extrapolation requires additional justification}

檢查與易錯點：樣本範圍內配適良好，不能驗證遠距外推。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

x=−1、0、1；y=t、0、t。求回歸直線，並解釋其遺漏的模式。

t=12

Sxx>0；超出觀察 x 範圍的外推須另作論證，預測不是確定結果。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

提示 2

使用此中間關係式。

S_{xy}=0,\quad \bar y=2t/3

完整解答

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$b=0,\quad a=24/3$
零斜率遺漏 U 形關係，因此須連同散點圖檢視。

所求關係或結論如下。

\hat y=24/3

檢查與易錯點：零斜率遺漏 U 形關係，因此須連同散點圖檢視。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

數據只在0≤x≤t內觀察。評估 x=10t 的預測。

t=13

Sxx>0；超出觀察 x 範圍的外推須另作論證，預測不是確定結果。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

提示 2

比較目標 x 與觀察區間。

完整解答

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$130>13$
樣本範圍內配適良好，不能驗證遠距外推。

所求關係或結論如下。

\text{extrapolation requires additional justification}

檢查與易錯點：樣本範圍內配適良好，不能驗證遠距外推。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

x=−1、0、1；y=t、0、t。求回歸直線，並解釋其遺漏的模式。

t=14

Sxx>0；超出觀察 x 範圍的外推須另作論證，預測不是確定結果。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

提示 2

使用此中間關係式。

S_{xy}=0,\quad \bar y=2t/3

完整解答

使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$b=0,\quad a=28/3$
零斜率遺漏 U 形關係，因此須連同散點圖檢視。

所求關係或結論如下。

\hat y=28/3

檢查與易錯點：零斜率遺漏 U 形關係，因此須連同散點圖檢視。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

配適最小二乘直線，區分預測、殘差及外推。
「一元線性回歸模型及其應用」中哪一個條件不可缺少？
回歸直線必須通過每個數據點嗎？

板書重點

定義關係：配適最小二乘直線，區分預測、殘差及外推。
$\hat y=a+bx;\quad b=S_{xy}/S_{xx};\quad a=\bar y-b\bar x$
適用條件：Sxx>0；超出觀察 x 範圍的外推須另作論證，預測不是確定結果。

預期想法

殘差為觀察值減預測值，不是相反。

評核清單

1分：選取正確表示法及條件。
1分：建立中間關係式。
1分：完成連貫的計算或證明。
1分：解釋並檢查結論。